例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解． 解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有
2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，
例4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．
分析 这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况． 解 把原方程化为 mx+mnx-mn-n=0，
整理得 m(m+n)x=n(m+n)．
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当m+n≠0，且m=0时，方程无解； 当m+n=0时，方程的解为一切实数．
说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论． 例5 解方程 (a+x-b)(a-b-x)=(a-x)(b+x)-ab．
分析 本题将方程中的括号去掉后产生x项，但整理化简后，可以消去x，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．
解 将原方程整理化简得 (a-b)-x=ab+ax-bx-x-ab， 即 (a-b)x=(a-b)．
(1)当a-b≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解
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(2)当a-b=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．
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例6 已知(m-1)x-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．
解 因为(m-1)x-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以
m-1=0，即m=±1．
(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为
199(1+4)(4-2×1)+1=1991；
(2)当m=-1时，原方程无解． 所以所求代数式的值为1991．
例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值． 解 将原方程变形为 2ax-a=3x-2， 即 (2a-3)x=a-2．
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由已知该方程无解，所以
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例8 k为何正数时，方程kx-k=2kx-5k的解是正数？
来确定：
(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立． (2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．
(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．
解 按未知数x整理方程得 (k-2k)x=k-5k． 要使方程的解为正数，需要 (k-2k)(k-5k)＞0． 看不等式的左端 (k-2k)(k-5k)=k(k-2)(k-5)．
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因为k≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求． 例9 若abc=1，解方程
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解 因为abc=1，所以原方程可变形为
化简整理为
化简整理为
说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．
例10 若a，b，c是正数，解方程 解法1 原方程两边乘以abc，得到方程
ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得
ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]
+ac[x-(a+b+c)]=0，
因此有 [x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．
因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以
x-(a+b+c)=0，
即x=a+b+c为原方程的解．
解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到
其余两项做类似处理．
设m=a+b+c，则原方程变形为
所以
即x-(a+b+c)=0． 所以x=a+b+c为原方程的解．
说明 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一． 例11 设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：
分析 要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)
…，n[x]都是整数，所以x必是整数．
解 根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为
合并同类项得
故有
所以x=n(n+1)为原方程的解．
例12 已知关于x的方程
且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．
解 由原方程可解得
a最小，所以x应取x=160．所以
所以满足题设的自然数a的最小值为2．
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