∴BD=CD, ∴△BDE≌△CDF.
（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2， ∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3
【考点】三角形的角平分线、中线和高，直角三角形全等的判定，全等三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由于
，D为BC的中点，平行得角相等，中点得线段相等，很容易证三
角形全等。（2）因为D为BC的中点，AD⊥BC，根据中垂线性质知，AB=AC，又根据三角形全等的性质定理知，BE=FC，则AB的长可求，AC的长即求。
16.如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长。
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长。
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2 ， 如图2.此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长.
【答案】 （1）解:①AM=AD+DM=40，或AM=AD-DM=20. ②显然∠MAD不能为直角。 当∠AMD为直角时
AM2=AD2-DM2=302-102=800，∴AM=20 当∠ADM为直角时，
AM2=AD2+CM2=302+102=1000 ∴AM=10
（2）解:连结CD1由题意得∠D1AD2=90°，
AD1=AD2=30
∴∠AD2D1=45°，D1D2=30
又∵∠AD2C=135°，∴∠CD2D1=90° ∴CD1=
∵∠BAC=∠D2AD1=90°
∴ 又∵AB=AC，AD1=AD2 ， ∴△ABD2≌△ACD1 ∴BD2=CD1=30 =30 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质 【解析】【分析】（1）①根据已知条件，分两种情况讨论，由AM=AD+DM或AM=AD-DM就可求出AM的长；②分情况讨论：由题意可知∠DAM不能为直角，当∠AMD为直角时；∠ADM为直角时，分别利用勾股定理求出AM的长。 （2）连接CD，利用旋转的性质易证∠D1AD2=90°，AD1=AD2 ， 利用解直角三角形求出D1D2 ， 再证明△CD1D2是直角三角形，利用勾股定理就可求出CD1 ， 然后利用SAS证明△ABD2≌△ACD1 ， 根据全等三角形的性质，就可求出BD2的长. 17.如图，在△ABC中，AC （1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B. （2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q.连接AQ若∠AQC=3∠B，求∠B的度数. 【答案】 （1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上， 所以PA=PB， 所以∠PAB=∠B， 所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）解：根据题意，得BQ=BA， 所以∠BAQ=∠BQA， 设∠B=x， 所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x， 所以∠BAQ=∠BQA=2x， 在△ABQ中，x+2x+2x=180°. 解得x=36°，即∠B=36° 【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得PA=PA，由等腰三角形性质得∠PAB=∠B，根据三角形外角性质即可得证.（2）根据等腰三角形性质得∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由三角形外角性质得与已知条件得∠BAQ=∠BQA=2x，再由三角形内角和定理列出方程，解之即可得出答案. 18.我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形 （1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等 ①如图1，若AC=AD=BE=BD=CE，求证：五边形ABCDE是正五边形 ②2如图2，若AC=BE=CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由 （2）判断下列命题的真假，（在括号内填写“真”或“假”），如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等 ①若AC=CE=EA，则六边形ABCDEF是正六边形（________） ②若AD=BE=CF，则六边形ABCDEF是正六边形（________） 【答案】 （1）①解：AB=BC=CD=DE=EA，AC=AD=BE=BD=CE ∴ ABC≌ BCD≌ CDE≌ DEA≌ EAB ∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAD ∴五边形ABCDE是正五边形 ②解：直边形ABCDE是正五边形 理由：如图，设∠1=a，记AC与EB的交点为O. AB=BC=CD=DE=EA，，AC=EC=EB， ∴ ABC≌ CDE≌ EAB ∴∠ABC=∠D=∠EAB，∠1=∠2=∠3=∠4=∠5-∠6=a ∴OA=OB，OC=OE ∴∠7=∠8=∠2=∠3=a ∵EB=EC，∴∠9=∠4+∠8=2a ∴∠ABC=∠BCD=∠D=∠DEA=∠EAB=3a ∴五边形ABCDE是正五边形 （2）假 ；假 【考点】全等三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：（2）①假命题，理由如下： ∵AB=BC=CD=DE=EF=FA，AC=CE=EA， ∴ △ABC≌△CDE≌△EAB（SSS）， ∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=∠FEA=∠FAE， 记∠BAC=α， 又∵AC=CE=EA， ∴△CAE为等边三角形， ∴∠CAE=∠CEA=∠ACE=60°， ∴∠FAB=∠BCD=∠DEF=60°+2α，∠AFE=∠ABC=∠CDF=180°-2α， ∴∠FAB≠∠AFE， ∴六边形ABCDEF不是正六边形， ∴该命题为假. ②∵AD=BE=CF，AB=BC=CD=DE=EF=FA， ∴不能得出三角形全等， 故不能证明该多边形的每个内角相等还是， ∴六边形ABCDEF不是正六边形， ∴该命题为假. 【分析】（1）①根据全等三角形的判定SSS得△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌△EAB，由全等三角形性质得∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，由题中定义即可得证. ②令∠BAC=α，由全等三角形的判定SSS得△ABC≌△CDE≌△EAB，根据全等三角形性质得∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=∠ABE=∠AEB，∠ABC=∠D=∠EAB，由等腰三角形性质及角的计算得∠ABC=∠BCD=∠D=∠DEA=∠EAB=3α，由题中定义即可得证.（2）①②由全等三角形判定和性质,等腰三角形性质结合题中定义即可判断其为假命题.
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