高中数学必修4－5总结
第一部分 三角函数及其恒等变换 1． 与角?终边相同角的集合为2． 已知?是第几象限角，求
????k?360???,k?Z?，象限角，轴线角的集合可借用此表示。
??n?N*?所在象限的方法：先把各象限均等为n等份，再从x轴的正半轴的上方起，n?依次将各区域标上一，二，三，四，则?原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域。
n3． 半径为r的扇形的圆心角?（?为弧度制）所对弧的长为l，周长为C，面积为S，则有以下公式：
112 l??r C?2r?l S?lr??r
22y4． 三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
5． 三角函数线：sin??MP cos??OM tan??AT 6． 同角三角函数的基本关系：
PTOMAxsin? sin??cos??1 tan??
cos?227． 三角函数的诱导公式：
公式一：sin???k?2???sin? cos???k?2???cos? tan???k?2???tan? 公式二：sin???????sin? cos???????cos? tan??????tan? 公式三：sin??????sin? cos?????cos? tan??????tan? 公式四：sin??????sin? cos???????cos? tan???????tan? 公式五：sin???????????cos? cos?????sin? ?2??2???????????cos? cos??????sin?
?2??2?公式六：sin?公式一到四：函数名称不变，正负看象限。公式五到六：奇变偶不变，正负看象限。 补充公式：tan?11k?????????????,k?Z? tan?????? ???tan?2?2?tan??2???8． 三角函数的图象与性质 函 数 性 质 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 R R ???xx?k??,k???? 2??值域 周期性 奇偶性 单调性 ??1,1? 2? 奇函数 ??1,1? 2? 偶函数 R ? 奇函数 ????2k??,2k??上??22??是增函数。?k?Z? ?2k???,2k??上是增函数。?k?Z? ?????k??,k???上是增函22??数。?k?Z? ?2k?,2k????上是减函?3???2k??,2k?? ??数。?k?Z? 22??上是减函数。?k?Z? 对称性 对称中心?k?,0? 对称轴x?k??对称中心?k???2????,0? 2?对称中心??k??,0?，?k?Z?，2?? 对称轴x?k? 无对称轴。 ?k?Z?
9． 三角函数不等式的解法 （1）三角函数线法。（2）函数图象法。 例：若求sinx?10．
?k?Z? 22的解集，则画出直线y?，则该直线上方y值所对应的x的值就是该不等式的解集。 22函数y?Asin??x????b?A?0,??0?的图象与性质：
（1） 图象的变化过程：函数y?sinx的图象向左平移?个单位?y?sin?x???，图象上各点的横坐标变缩短
为原来的
1倍?y?sin??x???，图象上各点的纵坐标变为原来的A倍?y?Asin??x???，图象向上?平移b个单位?y?Asin??x????b。
（2） y?Asin??x????b的周期T为
2??，同理得??2? T1?ymax?ymin?，b?1?ymax?ymin?。 22（3） 若y?Asin??x????b的最大值为ymax，最小值为ymin，则A?（4） 利用以上结论，再根据图象中任意一点以及?的范围，可求得y?Asin??x????b的解析式。 11．
两角和与差的正弦，余弦，正切公式和二倍角公式：
（1） sin(???)?sin?cos??sin?cos? cos??????cos?cos??sin?sin? （2） sin2??2sin?cos?
cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin? （3） tan??????2222tan??tan?2tan? tan2?? 21?tan?tan?1?tan?12． 拓展公式（不要求记忆） （1）半角公式：sin?2??1?cos??1?cos??1?cos? cos?? tan?? 22221?cos?（2）积化和差公式：
sin?cos??1?sin??????sin?????? cos?sin??1?sin??????sin?????? 2211cos?cos???cos??????cos?????? sin?sin???cos??????cos??????
22??????cos???2?????? sin??sin??2sin???2???????cos?? ??2?（3）和差化积公式：
????sin??sin??2sin??2????????????????????cos??cos??2cos??cos?? cos??cos???2sin??sin??
2222????????（4）弦化切公式：
2tansin???2 cos??1?tan21?tan2??2 21?tan2?2（5）三倍角公式
3tan??tan3?sin3??3sin??4sin? cos3??4cos??3cos? tan3?? 21?3tan?3313． 几个有用的三角函数结论 （1）若tan??bb，则??arctan，则有以下结论： aab??a2?b2sin???arctan?
a??时，且?k?Z?，则?1?tan??(1?tan?)?2
asin??bcos??（2）当????k???4（3）函数y?Asin??x????b的对称轴为x?k???2????k?Z?，对称中心为(k???,b)?k?Z?
?
第二部分：平面向量与解三角形
1． 向量的基本概念：三要素，零向量，单位向量，平行向量，相等向量，共线向量。
（1） 零向量与任一向量平行0∥a。 （2） 若a与b共线，则a∥b。 （3） 若a与b相等，则a∥b且a?b
2． 平面向量的线性运算：
（1） 向量的加法运算：三角形法则（左图），平行四边形法则（右图）。
（2） 三角形不等式：a?b?a?b?a?b （3） 向量的加法满足交换律，结合律。
??????????????
（4） 向量的减法运算：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
（5） 向量的运算公式：AB?BC?AC（合并公式），AC?AB?BC（分解公式），AB?BA?0这些
在做题中应用相当广泛。
（6） 向量的数乘运算：?a??a，??0时，?a的方向与a相同；??0时，?a的方向与a相反；??0?????????????????????????????????时，?a?0。向量的数乘运算符合交换律，结合律，分配律。
??????（7） 向量共线定理：若a与b共线，?a?0?则有唯一的实数?，使得b??a。用这个结论可以证明两
????向量共线。
3． 平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1,?2，使a??1e1??2e2。（不共线的向量e1，e2作为这一平面内所有向量的一组基底） 4． 平面向量的坐标运算：
（1） 平面向量的坐标：将向量的始点平移到坐标原点上则向量的终点对应的坐标即为该向量的坐标。即一
个向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标。
（2） 平面向量的坐标运算：若a??x1,y1?，b??x2,y2?，则：
???????????a?b??x1?x2,y1?y2? a?b??x1?x2,y1?y2? ?a???x1,?x2?
??????（3） 平面向量共线的坐标表示：若a??x1,y1?，b??x2,y2?，a与b共线，则有以下关系： x1y2?x2y1?0 用这个结论可以证明两向量共线。
（4） 两点A?x1,y1?，B?x2,y2?之间的距离公式，中点C的坐标公式为： AB????x1?x2?2??y1?y2?2?x?x2y1?y2?C?1,?
2??2uuuruuur（5） 分点坐标公式：设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当?1?????2
时，点?的坐标是?5． 平面向量的数量积：
（1） a?b?a?bcos?（?为a与b的夹角），零向量与任一向量乘积为0。
?????x1??x2y1??y2?,?
1??1??????（2） a?b?a?b?a与b同向；a?b?0??为锐角；a?b?0??为直角；a?b?0??为钝角；
??????????????a?b??a?b?a与b异向。
???????????（3） a?b?a?b?0 a?b?a?b
???（4） 平面向量数量积的坐标表示：若a??x1,y1?，b??x2,y2?，?为a与b的夹角，则有以下关系：
???? a?b?x1x2?y1y2 cos????a?b?a?b??x1x2?y1y2x1?y122x2?y222
6． 正弦定理与余弦定理：
（1） 正弦定理：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，则：
abca?b?c ???2R?sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC（2） 余弦定理：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：
a?b?c?2bccosA b?a?c?2accosB c?a?b?2abcosC 7.
解三角形的推论：
（1） 三角形的面积公式：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：
222222222111absinC?bcsinA?acsinB 222（2） 判断角的大小范围：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：
S? a?b?c?C为锐角；a?b?c?C为直角；a?b?c?C为钝角。 （3） 判断三角形解的情况：
1． 已知一边与两个角。（一个解） 2． 已知三边。（若两边之和大于第三边则有一个解，否则无解） 3． 已知两边及其夹角。（一个解） 4． 已知两边及一边的对角。（一个解，两个解或者无解）
已知三角形ABC两边a，b，a的对角为A。
（1） 若A为直角或者钝角，a?b，则有一个解，否则无解。
（2） 若A为锐角，a?bsinA，则有两解。B可取锐角或者钝角。 （3） 若A为锐角，a?bsinA，则有一解。B可取直角。 （4） 若A为锐角，a?bsinA，则无解。
（4） 在三角形内成立的特殊关系：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则： sin?A?B??sinC cos(A?B)?cosC?0 sin? tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC
（5） 中线长公式：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a边上的中线长为ma，
222222222CC?A?B??A?B???cos cos???sin
22?2??2?b边上的中线长为mb，c边上的中线长为mc则：
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