1我们然后再把q1?93专代入追随者的反应函数q2?50?0.25q1中，可解得
321q2?26,?2?711
3912??这里解得的?q1?93,q2?26?便是以企业1为领导者，以企业2为追随者
33??的斯塔克博格均衡。
3.先行者的优势
我们不妨比较一下古诺解与斯塔克博格解的结果。对于同样的市场需求函数
2，古诺解p?100?0.5(q1?q2)，对于同样的成本函数c1(q1)?5q1，c2(q2)?0.5q2的结果是
??q1?80，q2?30
斯塔克博格解的结果则是
12?q1??93，q2?26
33不难看出，总产量q1?q2在上述两个结果中是不一样的，产量在企业1与企业2之间的分割也是不同的，由于斯塔克博格解中企业1是领导者，会比他在古1诺解中的均衡产量增加13，这便是先行一步给领导者带来的优势。
3两模型各项指标的综合对比见表4-1。
表4-1 古诺模型和斯塔克博格模型各项指标比较表 产量 获利 价格 Cournot Stackelberg Cournot Cournot Stackelberg 总量 企业1 数量 80 93.33 3200 增减 份额% 72.7 77.8 78.0 82.1 数量 30 26.67 900 企业2 增减额 份额% 110 120 4100 ↑13.33 ↓3.33 27.3 22.2 22.0 45 40
45 40 Stackelberg 3977.78 3266.67 ↑66.67 711.11 ↓188.89 17.9 4.2寡头价格竞争模型
在以价格为决策变量的博弈格局中，也可分为“同时博弈”与“序列博弈”。同时的价格决定博弈就是“Bertrand均衡”所分析的对象；而价格决定的“序列博弈”则称“价格领导”模型。
4.2.1同质产品的伯川德(Bertrand)模型
大约在古诺给出古诺均衡模型后50年，另一位法国经济学家Joseph
Bertrand(1883年)在其一篇论文中讨论另一种形式的同时博弈，参加该博弈的双方都以定价作为决策变量（古诺模型里是以产量作为决策变量）。这一改变使博弈的市场均衡完全不同于古诺均衡。
1.市场结构
市场上只有两家厂商，生产的产品完全相同，企业也完全相同（即成本函数完全一样：生产的边际成本=平均成本c，且固定成本为零）。市场需求为
Qd????p
这两家厂商亦称是Bertrand双头(duopoly)。我们这里讨论的博弈实质上是“价格战”。因为，当我们只考察企业1的状况时，就不难看到
1?(p?c)(???p)如0?p1?p21?12??1?1(p1,p2)??(p1?c)(???p1)如0?p1?p2
?2?(p1?c)?0如0?p1?p2??即企业1的定价p1如高于企业2的定价，则会整个地失去市场；如p1?p2，便会得到整个市场；如企业1与企业2定价水平相同，则平分市场。当然，我们得假定pi?c(i?1,2)，否则，利润会负，企业会都不生产。
2.Bertrand均衡
Bertrand均衡是唯一的，即两家企业的价格相同且等于边际成本，利润等于零（正常利润是有的）。
我们来证明，为什么p1?p2?c是Bertrand均衡?因为利润函数是非连续的，因此，我们不能通过求导的办法来解一阶条件，我们只有通过推理来证明。
首先，如果两家企业进行价格竞争，因为低价的企业会拥有整个市场，而高价的企业会丧失整个市场。所以，每个企业总有动力去降价，直到pi?c为止。如pi?c则会有负利润，因此只能降价到pi?c为止。
1其次，在pi?c时，每个企业获利(pi?c)(???pi)?0，即零利润。它们可
2不可以通过改变价格去增加利润呢?不能。因为若使pi?c，当另一家企业pj?c时，i会丧失整个市场；若使pi?c，会有负利润。所以，当另一家企业选择pj?c时，pi?c实质上已使各个企业的利润极大化了。
再次，会不会有可能出现这样的状况，即p1?p2?c呢?也不会。证明如下：
设p1?p2?c，考虑企业2的决策。企业2在面临p1?c时，任选一个价格水平p2?(c,p1)，就可得到整个市场，并且有正利润，而使企业1的利润为零。
从而我们有下列推理
如果p1?c，必有p2?c并且p2?p1 (?) 同样的道理也可以反过来用于企业1，即
如果p2?c，必有p1?c并且p1?p2 (??)
把推理(?)与推理(??)结合起来，我们可知，如果一家企业的价格高于边际成本，另一家企业的价格必然也高于边际成本，并且每一家价格必定要低于另一家的价格。但这最后一句话是不可能做到的。
所以，p1?p2?c是不能成为均衡的。
Bertrand均衡的含义在于，如果同业中的两家企业经营同样的产品，且成本一样，则价格战必定使每家企业按p?边际成本的原则来经营，即只获取正常利润。但是，如果两家企业的成本不同，则从长期看，成本低的企业必定挤走成本高的企业。
3.关于Bertrand悖论的三种解法
Bertrand均衡的结论告诉人们，只要市场上有两个或两个以上生产同样产品的企业，则没有一个企业可以控制市场价格获取垄断利润。但是，这个结论是很难令人信服的。我们看到，市场上企业间的价格竞争事实上往往并没有使均衡价格降到等于边际成本这一水平上，而是高于边际成本，企业仍是获得超额利润的。为什么现实生活里达不到Bertrand均衡呢?这被称为是\之谜”或Bertrand悖论(Bertrand paradox)。
如何解释Bertrand悖论呢?
到目前为止，经济学家对此有三种解法：
第一种是埃奇沃斯(Edgeworth)解。Edgeworth在1897年发表的论文《关于垄断的纯粹理论》（The Pure Theory of Monopoly）中指出，由于现实生活中企业的生产能力是有限制的，所以，只要一个企业的全部生产能力可供量不能全部满足社会需求，则另一个企业对于残差的社会需求就可以收取超过边际成本的价格。举例说来，如市场上只有两家企业，称企业1与企业2，生产的边际成本都为c，设企业1与企业2生产的全部可供量小于价格为c时的市场需求量D(c)。
??在这种条件下，(p1,p2)?(c,c)就不是一个均衡的价格体系。因为，即使企业1按p1?c出售商品，社会上的需求都会转到它提供的产量上来，但仍有一部分社会需求无法得到满足，仍然得转而买企业2生产的产品。如果企业2收取的价格p2?c，消费者仍需支付p2。当然，谁以价格p1购买企业1的产品，谁以的价格p2购买企业2的产品，这是一个排队或者配额的方式问题，但肯定有人不得不以p2去购买企业2的产品。使之可以获得超额利润，而不是Bertrand均衡的结果。这种解释也叫做生产能力约束解。
第二种解叫做博弈时序解。Bertrand均衡的证明是依赖于两家企业的竞相降价来追求消费者对于降价的反应这一逻辑基础的。然而，如果Bertrand模型只是一个同时的价格博弈，则不应包括一家企业降价造成的消费反应这样一个带时序
性的博弈过程。如果真要分析价格博弈中的时序性，即真是分析两家企业竞相降价的序列后果，则马上会遇上一个问题：当一家企业看到自己降价之后会引起另一家企业更低的定价的竞争，这家企业还敢降价吗?每一家企业都得比较降价在短期中带来的好处与在长期中由于价格战而带来的损失。如果作这样的时序分析，现实生活与Bertrand均衡之间的不一致就可以得到解释：因为企业怕降价引发长期的价格战，所以两家企业很可能在p1?p2?c的某一点达成协议，不降价了。这就是所谓的“勾结”(collusion)。
第三是产品差异解。Bertrand均衡是假定企业间的产品是同一的，是完全可以相互替代的，这会引发企业间的价格战，使价格往边际成本靠拢。但事实上，企业间在产品上是有差异的，即使出售同一产品，在服务上也可以大有差别，并且有些厂商又占有地域上的优势，这样，如企业1定价为p1?c，企业2如果服务上或位置上有优势，定价为p1?c?? (??0)也是非常正常的事。
4.2.2非同质产品的价格竞争模型
如果改变上一节同质产品的假设，我们来考虑差别产品的价格竞争问题。 1.基本模型
产品有差异，意味着寡头面临着不同的需求曲线
?q1?q1(p1,p2) ??q2?q2(p1,p2)对应的目标函数为
??1?p1q1?c1(q1) ???2?p2q2?c2(q2)2.举例
[例4] 已知厂商1的需求曲线为q1?18?3p1?p2，已知厂商2的需求曲线为
q2?18?3p2?p1，双寡头各有固定成本24单位，但没有可变成本。
这个模型的求解过程很类似古诺模型。这时，各个厂商把对手的价格当做固定的前提来决定自己的价格。
??1?p1q1?24??1?p1(18?3p1?p2)?24 ?????2?p2q2?24??2?p2(18?3p2?p1)?24???1p2??18?6p?p?0p?3?12??p??1?16?? ??p???2?18?6p?p?0?p2?3?121??6??p?2
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