f??x???3x2?0。
解析：求函数的导数f??x??3ax2?6x?1（1）当f??x??0时，f?x?是减函数，
?a?0则f??x??3ax2?6x?1?0?x?R?故?解得a??3。（2）当a??3时，
??0?1?8?（3）f?x???3x3?3x2?x?1??3?x???易知此时函数也在R上是减函数。
3?9?当a??3时，在R上存在一个区间在其上有f??x??0，所以当a??3时，函数f?x?不是减函数，综上，所求a的取值范围是???,?3?。
【知识归类点拔】若函数f?x?可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①f?(x)?0与f(x)为增函数的关系:f?(x)?0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)?x3在(??,??)上单调递增，但f?(x)?0，∴②f?(x)?0时，f?(x)?0与f(x)为f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。
增函数的关系:若将f?(x)?0的根作为分界点，因为规定f?(x)?0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f?(x)?0。∴当f?(x)?0时，f?(x)?0是f(x)为增函数的充分必要条件。③f?(x)?0与f(x)为增函数的关系:f(x)为增函数，一定可以推出f?(x)?0，但反之不一定，因为f?(x)?0，即为f?(x)?0或
f?(x)?0。当函数在某个区间内恒有f?(x)?0，则f(x)为常数，函数不具有单
3调性。∴f?(x)?0是f(x)为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
因此本题在第一步后再对a??3和a??3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。
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【练8】（1）（2003新课程）函数y?x2?bx?c?x??0,????是是单调函数的充要条件是（）
A、b?0 B、b?0 C、b?0 D、b?0 答案：A
（2）是否存在这样的K值，使函数f?x??k2x4?减，在?2,???上递增？ 答案：k?231x?kx2?2x?在?1,2?上递321。（提示据题意结合函数的连续性知f??2??0，但f??2??0是函数2在?1,2?上递减，在?2,???上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由） f??2??0求出K值后要检验。
【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。 例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+错解 :(a+
121)+(b+)2的最小值。 ab1112121)+(b+)2=a2+b2+2+2+4≥2ab++4≥4ab?+4=8∴
abababab11(a+)2+(b+)2的最小值是8
ab【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等
号成立的条件是a=b=
11,第二次等号成立的条件ab=，显然，这两个条件
ab2是不能同时成立的。因此，8不是最小值。 解析：原式= a2+b2+
1111222
++4=( a+b)+(+)+4=[(a+b)-2ab]+ 2222abab21a?b2111[(+)2-]+4 =(1-2ab)(1+22)+4由ab≤()= 得：1-2ab≥ab2ab4ab11251111-=,且22≥16，1+22≥17∴原式≥×17+4= (当且仅当
2222abab25111a=b=时，等号成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是。
22ab【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一
不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。
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【练9】（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。
（1） 把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数
的定义域；
（2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 答案为:（1）y?as≤c时，bv2?a??0?v?c?（2）使全程运输成本最小，当?bv行驶速度v=
aa；当＞c时，行驶速度v=c。 bb【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。
例10、是否存在实数a使函数f?x??logaax?x在?2,4?上是增函数？若存在求出a
2的值，若不存在，说明理由。
【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。 解析：函数f?x?是由??x??ax2?x和y?loga??x?复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法（1）当a>1时，若使f?x??logaax?x在?2,4?上是增函数，则
2?1??22故有?2a解得a>1。（2）??x??ax?x在?2,4?上是增函数且大于零。
???2??4a?2?0?当a<1时若使f?x??logaax?x在?2,4?上是增函数，则??x??ax2?x在?2,4?上是减
2?1??4函数且大于零。?2a不等式组无解。综上所述存在实数a>1使得
???4??16a?4?0?函数f?x??logaax?x在?2,4?上是增函数
2【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决
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于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。
【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设a?0，且a?1试求函数
y?loga4?3x?x2的的单调区间。
3???3?答案：当0?a?1，函数在??1,?上单调递减在?,4?上单调递增当a?1函数在
2???2?3???3??1,,4?上单调递减。 上单调递增在???2???2?（2）（2005 高考天津）若函数f?x??loga?x3?ax??a?0,a?1?在区间(?,0)内单调递增，则a的取值范围是（）A、[,1) B、[,1) C、(,??) D、(1,)
答案：B.（记g?x??x3?ax，则g'?x??3x2?a当a?1时，要使得f?x?是增函数，
3?1?a?3????则需有g'?x??0恒成立，所以D当0?a?1时，要使f?x?4.矛盾.排除C、?2?21214349494是函数，则需有g'?x?3?1????.排除?0恒成立，所以a?3?4?2?2A）
【易错点11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．
1求siny?cos2x的最大值 31【易错点分析】此题学生都能通过条件sinx?siny?将问题转化为关于sinx的
3例11、已知sinx?siny?函数，进而利用换元的思想令t?sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解，
11?sinx且siny??sinx???1,1?（结合sinx???1,1?）33212得??sinx?1，而siny?cos2x=?sinx?cos2x=?sin2x?sinx?令
333解析：由已知条件有siny?2?2?2??t?sinx???t?1?则原式=t2?t????t?1?根据二次函数配方得：当
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