高考冲刺之导数（基础篇）
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．导数的物理意义
若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度． 3．函数的单调性
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0?函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0?函数f(x)在(a，b)上单调递减．
4．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 5．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 6．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答． 两个注意
(1)注意实际问题中函数定义域的确定．
(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 三个防范
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导； ②f(x)＝x，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x的极值点．
(3)若y＝f(x)可导，则f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取极值的必要条件． 易误警示
直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点． 两个条件
(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．
(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 三个步骤
求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．
当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间． 小题分类
1.（导数与积分）定积分? A. －1 B
2x（2）当x?0时，函数y?x与函数y?2的图像所围成的封闭区域的面积是 【答案】ln203
3
exdx的值为（ ）
C. e2?1
D. e2 【答案】
B. 1
27 4（3）用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f(x)?max{x2，x}(x?函数y?f(x)的图象、x轴、直线x?【答案】
1)，那么由41和直线x?2所围成的封闭图形的面积是 43512
（4）若a??xdx,b?01?101?xdx,c??101?x2dx，则a,b,c的大小关系是 （ ）
【答案】A
A.a?b?c B.a?c?b C.b?a?c D.c?b?a162
设a＝?π(sinx＋cosx)dx，则(ax－)的二项展开式中含x的系数是( )
x?0
变式
A．192 B．－192 C．96 D．－96
解析：因为a＝?π(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| 0＝(－cosπ＋sinπ)－(－
π
?0
cos0＋sin0)＝2，所以(ax－
1x
?6
)＝?2x－
?
1?6
rr6－r6－r
?，则可知其通项Tr＋1＝(－1)C62x2－x?
rrr6－r3－r2rr6－r11＝(－1)C62x，令3－r＝2?r＝1，所以展开式中含x项的系数是(－1)C62＝(－1)C622
6－1
＝－192，故答案选B.
2
（2）若等比数列{an}的首项为，且a4＝?4(1＋2x)dx，则公比等于________．
3?
1
2243
解析：?4(1＋2x)dx＝(x＋x)|1＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a4＝18＝·q?q＝3.
3?
1
2.(导数的单调性)若f?x??x?2x?4lnx，则f(x)的单调递增区间为（ ）
2A．??1,0? B．??1,0???2,??? C．?2,??? D．?0,??? 【答案】C
（2）函数f(x)的定义域为R，对任意实数x满足f(x?1)?f(3?x)，且
f(x?1)?f(x?3)．当l≤x≤2时，函数f(x)的导数f?(x)?0，则f(x)的单调递
减区间是
（ ）
A．[2k,2k?1](k?Z) B．[2k?1,2k](k?Z)
C．[2k,2k?2](k?Z) D．[2k?2,2k](k?Z) 【答案】A
（3）已知函数f(x)?(ax?2x?1)?e(a?R，e为自然对数的底数). 若函数f(x)在
[-1，1]上单调递减，求a的取值范围． 【答案】解： f?(x)?(2ax?2)?e2?x2?x?(ax2?2x?1)?e?x??e?x[ax2?2ax?2x?3]
，1)内，g(x)?0，即令g(x)?ax?2(a?1)x?3①若a?0，则g(x)??2x?3，在(?1，1]上单调递减.………………7分②若a?0，则f?(x)?0，函数f(x)在区间[?1g(x)?ax2?2(a?1)x?3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x?a?1?1，当且仅a，1)内g(x)?0，f?(x)?0， 当g(1)?0，即0?a?1时，在(?1，1]上单调递减.③若a?0，则g(x)?ax?2(a?1)x?3，其图象是函数f(x)在区间[?1开口向下的抛物线， 当且仅当?2?g(?1)?05，1)内g(x)?0，f?(x)?0， ，即??a?0时，在(?13?g(1)?0，1]上单调递减. 函数f(x)在区间[?15?a?1．…12分 3x?x3.（导数与切线斜率）设a?R,函数f(x)?e?a?e的导函数是f?(x)，且f?(x)是奇
，1]上单调递减时，a的取值范围是?综上所述，函数f(x)在区间[?1函数，若曲线y?f(x)的一条切线的斜率是A. ?
3，则切点的横坐标为（ ） 2ln2ln2 B.?ln2 C. D. ln2 【答221311x?(a?)x2?x(a?0)，则f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜32a时
的
切
线
方
程
是
案】D
（2）已知函数f(x)?率
最
大
______________
【答案】y?
1 3
13?4?(3)曲线y＝x＋x在点?1，?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) 3?3?
1212
A. B. C. D. 【答9933案】A
3
4.(导数与图像)函数y＝f（x）在定义域（－，3）内的图像如图所示．记y＝f（x）的导
2函数为y＝f?（x），则不等式f?（x）≤0的解集为
1
A．[－，1]∪[2，3）
3
148
B．[－1，]∪[，]
233
3131144
C．[－，]∪[1，2） D．（－，－]∪[，]∪[，3）
2223233【答案】A
（2）设f?(x)是函数f(x)的导函数,y?f?(x)的图象如右图所示，则y?f(x)的图象最有可能的是
【答案】C
（3）已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x?2x?3)f?(x)?0的解集为（ ）【答案】D
A．(??,?2)?(1,??) B．(??,?2)?(1,2) C．(??,?1)?(?1,0)?(2,??)
D. (??,?1)?(?1,1)?(3,??)
25.（导数的运用）已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足
f(x)?ax，且g(x)f?(x)g(x)?f(x)g?(x),
f(1)f(?1)5??，则a的值是（ ） g(1)g(?1)2A．2
B．
1 2 C．3 D．
1 3【答案】B
（2）已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=1，且f(x)的导数f?(x)在R上恒有
x2112?的解集为（ ） f?(x)<(x?R)，则不等式f(x)?222A．(1,??) B．(??,?1) C．(?1,1) 【答案】D
D
．
(??,?1)∪(1,??)
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