江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市2018届高三第二次调研数学试题

C. (选修44：坐标系与参数方程)

ππ

在极坐标系中，求以点P(2，)为圆心且与直线l：ρsin(θ－)＝2相切的圆的极坐标方

33程．

D. (选修45：不等式选讲)

11－a＋c

已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝，求证：≥2.

2c（a＋2b）

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X元．

(1) 求概率P(X＝600)；

(2) 求X的概率分布及数学期望E(X)．

23. 已知(1＋x)

2n＋1

＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a2n＋1x

22n＋1

，n∈N.记Tn＝

*

(2k＋1)an－k.

(1) 求T2的值；

(2) 化简Tn的表达式，并证明：对任意的n∈N，Tn都能被4n＋2整除．

*

2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)

数学参考答案及评分标准

412＋69

1. {1，3} 2. 3. 30 4. 125 5. 6. 7. 43 8. 9. －6 10. 8

3327122

11. (x－1)＋y＝4 12. (1，＋∞) 13. 10 14. 4，

4

13

15. 解：(1) 因为a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝(－，)，

22所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)．(3分) 因为|a＋b|＝|c|，所以|a＋b|＝c，即a＋2a·b＋b＝1， 1

所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－.(6分)

2

5π3113

(2) 因为α＝，所以a＝(－，)．故b＋c＝(－sin β－，cos β＋)．(8分)

62222因为a∥(b＋c)，所以－3311

(cos β＋)－(－sin β－)＝0. 2222

2222131π1

化简得sin β－cos β＝，所以sin(β－)＝.(12分)

22232

ππ2ππππ

因为0<β<π，所以－<β－<.所以β－＝，即β＝.(14分)

333362

16. 证明：(1) 在三棱柱ABC -A1B1C1中，BB1∥CC1. 因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1.(2分) 又AE⊥BB1，AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，所以BB1⊥平面AEF.(5分) 因为BB1?平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C.(7分) (2) 因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE＝∠ACF，AB ＝ AC， 所以Rt△AEB≌Rt△AFC.所以BE ＝CF.(9分)

又由(1)知，BE∥CF，所以四边形BEFC是平行四边形．故BC∥EF.(11分) 又BC?平面AEF，EF?平面AEF，所以BC∥平面AEF.(14分)

17. 解：设P(x0，y0)，Q(x1，y1)．

(1) 在y＝x＋3中，令x＝0，得y＝3，从而b＝3.(2分)

xy?2?2＋＝1，x2（x＋3）26a 由?a9 得2＋＝1，所以x0＝－2.(4分)

a99＋a

??y＝x＋3

6a2因为PB1＝x＋（y0－3）＝2|x0|, 所以42＝2·2，解得a＝18.

9＋a

20

2

2

22

xy

所以椭圆的标准方程为＋＝1.(6分)

189

y0－3x0

(2) (方法1)直线PB1的斜率为kPB1＝，由QB1⊥PB1，所以直线QB1的斜率为kQB1＝－.

x0y0－3于是直线QB1的方程为y＝－

x0

x＋3. y0－3

22

x0

同理，QB2的方程为y＝－x－3.(8分)

y0＋3y0－9

联立两直线方程，消去y，得x1＝.(10分)

x0

xyx0y0x02

因为P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，从而y0－9＝－. 1891892x0

所以x1＝－.(12分)

2

S△PB1B2?x0?所以＝??＝2.(14分)

S△QB1B2?x1?

(证法2)设直线PB1，PB2的斜率为k，k′，则直线PB1的方程为y＝kx＋3. 1

由QB1⊥PB1，直线QB1的方程为y＝－x＋3.

k

xy22

将y＝kx＋3代入＋＝1，得(2k＋1)x＋12kx＝0，

189

12k

因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以x0≠0，从而x0＝－2.(8分)

2k＋1xyx0y0x02

因为P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，从而y0－9＝－. 1891892y0－3y0＋3y0－911

所以k·k′＝·＝2＝－，得k′＝－.(10分)

x0x0x022k由QB2⊥PB2，所以直线QB2的方程为y＝2kx－3.

1??y＝－x＋3，6k6kk联立? 则x＝2，即x1＝2.(12分)

2k＋12k＋1

??y＝2kx－3

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

12k－??2k＋1S△PBB?x?

所以＝??＝＝2.(14分)

S△QBB?x??6k?

?2k＋1?

2

1212

01

2

18. 解：(1) 设所得圆柱的半径为r dm, 则(2πr＋2r)×4r＝100，(4分) 52（π＋1）

解得r＝.(6分)

2（π＋1）

xxa≤，a≤，???2?2

(2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm，则?即?(9分)

10020??a≤x－4a，??a≤x.

??

(方法1)所得正四棱柱的体积V＝ax≤?400

??x，x>2

2

x

，0

10.

3

(11分)

??

记函数p(x)＝?400

??x，x>2x

，0

10，

3

则p(x)在(0，210]上单调递增，在[210，＋∞)上单调

递减， 所以当x＝210时，pmax(x)＝2010.

所以当x＝210，a＝10时，Vmax＝2010 (dm)．(14分) 20

(方法2)2a≤x≤，从而a≤10.(11分)

a

2220

所得正四棱柱的体积V＝ax≤a()＝20a≤2010.

a

3

所以当a＝10，x＝210时，Vmax＝2010 (dm)．(14分) 答：(1) 圆柱的底面半径为

52（π＋1）

dm；

2（π＋1）

3

(2) 当x为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．(16分) 【评分说明】

x

① 直接“由x·(2x＋)＝100得x＝210时正四棱柱的体积最大”给2分；

2

② 方法1中的求解过程要体现V≤p(x)≤210，凡写成V＝p(x)≤210的最多得5分， 其他类似解答参照给分．