2015年全国高中数学联赛模拟试题11 - 图文

2015年全国高中数学联赛模拟试题11

第一试

（时间：8:00-9:20 满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

an?2?an,a1?1,a404?2016,则a6的最大值为 . 22222. 已知a?b?c?1,则ab?bc?ac的值域为 . 1113. 不等式x?2?x?2?的解集是

xxx1. 已知数列?an?满足：an?1?4.单位正方体ABCD?A1BC则点B1到EFG所在平面的11D1中，E,F,G分别是棱AA1,C1D1,D1A1的中点，距离为 ．

5.不等式f（）'0?A对所有满足f（x）?1(0?x?1)的二次函数f(x)恒成立，则实数A的最小值是

x2y26.椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，点I,Gab分别是△PF1F2的内心、重心.已知对任意点P，IG恒垂直于x轴，则椭圆的离心率为 7.已知方程8t?4t?4t?1?0在?0,32??上有一根x，则x= ?13???8.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分

时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p（0?p?1），乙获胜的概率为q?1?p． 假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经?次结束，则?的期望E?的变化范围为

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9．已知a,b,c???1,2?，求证：abc?4?ab?bc?ca

10.设a1?1,an?1?(2)若ban?2an?2?b,(n?N?).(1)若b?1，求a2,a3及数列{an}的通项公式；

2??1，问：是否存在实数c使得a2n?c?a2n?1,对所有n?N?都成立?证明你的结论

11.已知两条直线l1:3x?4y?25?0,l2:117x?44y?175?0,点A到直线l1,l2的射影分别为B,C， （1）求使S△ABC?

172839227220?与曲线成立的点A的轨迹曲线?；（2）若T:(x?)?(y?)?r?r?62555?恰有7个交点，求r的值

2015年全国高中数学联赛模拟试题11

加试

（时间：9:40-12:10 满分：180）

一、（本小题满分40分）

设n是给定的正整数，且n?3.对于n个实数x1,x2,22若x1?x2?2?xn?1，试求m的最大值

记xi?xj?1?i?j?n?的最小值为m.,xn，

二、（本小题满分40分）

如图，设A,B,D,E,F,C依次是一个圆上的六个点，满足AB?AC，直线AD与BE交于点P， 直线AF与CE交于点R，直线BF与CD交于点Q，直线AD与BF交于点S，直线AF与CD交于点T， 点K在线段ST上，使得?SKQ??ACE.

求证：

SKPQ. ?KTQR 三、（本题满分50分）

n?2?3n?2modqn,qn?2?3n?2modpn的三元数组?p,q,n?，其中p,q为试确定所有同时满足p????奇素数，n为大于1的整数

四、（本题满分50分）

2015年全国高中数学联赛模拟试题11

第一试参考解答

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

an?2?an,a1?1,a404?2016,则a6的最大值为 . 2解：?an?构成的点列?n,an?排列在一个凸函数中，因此当点列分布在由点?1,1?,?404,2016?确定的直线上时

1. 已知数列?an?满足：an?1?其值最大，所以a6的最大值为26.

2. 已知a?b?c?1,则ab?bc?ac的值域为 . 解：显然ab?bc?ca?a?b?c?1当a?b?c时等号成立，另一方面ab?bc?ca?a?b?c??bc

222222a2??b?c?a2?b2?c21?1????bc????，等号当a?b?c?0时成立，所以值域为??,1?

222?2?111?x??的解集是 22xxx11解：由x?2?0,x?2?0得x?1，原不等式等价于x3?1?x3?1?1，即x3?1?x3?1?2

xx33?10?110??3相减得x?1??x?，此时，原不等式成立，即不等式解集为?xx??

2?22???3. 不等式x?4.单位正方体ABCD?A1BC则点B1到EFG所在平面的11D1中，E,F,G分别是棱AA1,C1D1,D1A1的中点，距离为 ．

23．解一、补形法，如图，过E,F,G的平面截正方体，所得截面是一个正六边形，易知该平面垂直2D1FC1G3平分正方体的对角线B1D，而B1D?3，所以B1到面EFG的距离h?． A1B121113DEC解二：等体积法，易知SB1FG?1?SB1A1G?SB1C1F?SD1FG?1????，

4488AB111而点E到平面B1FG的距离h0?，所以VEB1FG?h0SB1FG?．

2316113122222226，GF?GE?又EF?EA1?A1F?EA1?(A1D1?D1F)??1??，即EF?，

4422211GE2?GF2?EF213， cos?EGF???，?EGF?1200，则S?EGF?GE?GFsin1200?282GE?GF21133?VEB1FG?h?S?EGF?若B1到面EFG的距离为h，则． h，所以h?1632425.不等式f（）'0?A对所有满足f（x）?1(0?x?1)的二次函数f(x)恒成立，则实数A的最小值是

答案：

x2y26.椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，点I,Gab分别是△PF1F2的内心、重心.已知对任意点P，IG恒垂直于x轴，则椭圆的离心率为

7.已知方程8t?4t?4t?1?0在?0,32??13????上有一根x，则x=

8.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p（0?p?1），乙获胜的概率为q?1?p．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经?次结束，则?的期望E?的变化范围为

以p(??k)记比赛经k次结束的概率．若k为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数， 因而有p(??k)?0． 考虑头两次比赛的结果：（1）甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果出现的概率为p?q； （2）甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为2pq． 比赛经k次结束，k必为偶数，则1,2两次，3,4两次，……，k?3,?k?2两次均未分胜负． 若k?20，则第k?1,?k两为有胜负的两次，从而有p(??k)?(2pq)9222k?12(p2?q2)．

2若k?20，比赛必须结束， 所以 p(??20)?(2pq)． E??(p?q)2222?2i(2pq)i?19i?1 ?20(2pq)9．i?1由p?q?1，知p?q?1?2pq．令u?2pq，则p?q?1?u，所以E??(1?u)令s??2iui?19?20u9．

?2iui?19i?1,则us??2iu??2(i?1)uii?1i?2910i?1??2(i?1)ui?1,

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