广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数 学（理 科） 2019.3

本试卷共4页，21小题， 满分150分。 考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

锥体的体积公式V?

如果事件A、B相互独立，那么P?AB??P?A??P?B?.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数f?x??sinx的最小正周期为

21Sh, 其中S是锥体的底面积, h是锥体的高. 3如果事件A、B互斥，那么P?A?B??P?A??P?B?.

A．? B.2? C. 3? D. 4?

2．已知z?i（1?i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于 A．第一象限

3．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时 的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时 至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 A. 6万元 B. 8万元

C. 10万元 D.12万元

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

4．已知过A??1,a?、B?a,8?两点的直线与直线2x?y?1?0平行，

则a的值为

A. ?10 B. 17

C. 5 D. 2

5．阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“?”或“:=”)，

若输出的S的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是

A．i?5? B. i?6?

C. i?7? D. i?8?

6．已知p：关于x的不等式x?2ax?a?0的解集是R，

2q：?1?a?0，则p是q的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

7．在?1?x??a0?a1x?a2x2?a3x3?????anxn中，若2a2?an?5?0，则自然数n的值是

nA．7 B．8 C．9 D．10

8．在区间?0,1?上任意取两个实数a,b，则函数f?x??一个零点的概率为 A．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9～12题）

9. 若log2?a?2??2，则3? .

a13x?ax?b在区间??1,1?上有且仅 21371 B． C． D．

484810．若

?a0xdx=1, 则实数a的值是 .

11.一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图3所示， 则该几何体的侧面积为 cm.

12．已知数列?an?的前n项和为Sn，对任意n?N都有Sn?*221an?， 33*且1?Sk?9（k? N），则a1的值为 ，k的值为 . （二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线?sin???__ .

14.（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B,C 两点，AC???????2被圆??4截得的弦长为4?3,?PAB?30?，则线段PB的长为 . 222 15．（不等式选讲选做题）已知a,b,c?R，且a?b?c?2,a?2b?3c?4，则实数a的取值

范围为_____________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a?2,cosB?（1）若b?4, 求sinA的值;

(2) 若△ABC的面积S?ABC?4, 求b,c的值.

17.（本小题满分14分）

甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为分数之和为2的概率为（1）求p的值；

（2）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为?，求?的分布列和数学期望.

18. （本小题满分14分）

如图4, 在三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，AB?AC,

3. 53和p, 且甲、乙两人各射击一次所得59.假设甲、乙两人射击互不影响. 20D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点，连接DE,DF,EF.

(1) 求证: 平面DEF//平面ABC;

(2) 若PA?BC?2, 当三棱锥P?ABC的体积最大时, 求二面角A?EF?D的平面角的余弦值.

图4

19．(本小题满分12分)

某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工A型零件的工人人数为

x名（x?N*）.

（1）设完成A型零件加工所需时间为f?x?小时，写出f?x?的解析式； （2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？

20．（本小题满分14分）

2已知动圆C过点A??2,0?，且与圆M:?x?2??y?64相内切.

2（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；

（2）设直线l:y?kx?m（其中k,m?Z)与（1）中所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线

x2y2??1交于不同两点E,F，问是否存在直线l，使得向量DF?BE?0，若存在，指412出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

21. (本小题满分14分)

2n*已知数列?an?的相邻两项an,an?1是关于x的方程x?2x?bn?0(n?N)的两根,且

a1?1.

(1) 求数列?an?和?bn?的通项公式;

*(2) 设Sn是数列?an?的前n项和, 问是否存在常数?,使得bn??Sn?0对任意n?N都成立,

若存在, 求出?的取值范围; 若不存在, 请说明理由.