【解析】(a?2b)?(xa?b)?0?x?(2x?1)?8?0?x?3
8. 若球的表面积为100?，平面?与球心的距离为3，则平面?截球所得的圆面面积为 【解析】R?5，r?4，S?16? 9. 若平面区域的点(x,y)满足不等式则常数k? 【解析】数形结合，可知图像
|x||y|??1（k?0），且z?x?y的最小值为?5， k4|x||y|??1经过点(?5,0)，∴k?5 k410. 若函数f(x)?loga(x2?ax?1)（a?0且a?1）没有最小值，则a的取值范围是 【解析】分类讨论，当0?a?1时，没有最小值，当a?1时，即x2?ax?1?0有解， ∴??0?a?2，综上，a?(0,1)[2,??)
11. 设x1,x2,x3,x4?{?1,0,2}，那么满足2?|x1|?|x2|?|x3|?|x4|?4的所有有序数对
(x1,x2,x3,x4)的组数为 【解析】① |x1|?|x2|?|x3|?|x4|?2，有10组；② |x1|?|x2|?|x3|?|x4|?3， 有16组；③ |x1|?|x2|?|x3|?|x4|?4，有19组；综上，共45组 12. 设n?N*，an为(x?4)n?(x?1)n的展开式的各项系数之和，c?3t?2，t?R， 4naa2abn?[1]?[22]?????[nn]（[x]表示不超过实数x的最大整数），则(n?t)2?(bn?c)2
555的最小值为
nann?2nn2?n【解析】an?5?2，[n]?[n?n]?n?1，bn?，(n?t)2?(bn?c)2的几何
552nn33n2?n意义为点(n,)(n?N*)到点(t,2?t)的距离，由图得，最小值即(2,1)到y?2?x
244的距离，为0.4
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “xy?0”是“x?0且y?0”成立的（ ） A. 充分非必要条件 C. 充要条件 【解析】B
14. 如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系O?xyz
B. 必要非充分条件
D. 既非充分也非必要条件
的三条坐标轴上，OC?(0,0,2)，平面ABC的法向量为
n?(2,1,2)，设二面角C?AB?O的大小为?，则
cos??（ ）
A.
5422 B. C. D. ?
3333【解析】cos??OC?n42??，选C
|OC|?|n|2?3315. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若S3?0，则a2018?0 B. 若S3?0，则a2018?0 C. 若a2?a1，则a2019?a2018 D. 若
11?，则a2019?a2018 a2a1【解析】A反例，a1?1，a2??2，a3?4，则a2018?0；B反例，a1??4，a2?2，
a3??1，则a2018?0；C反例同B反例，a2019?0?a2018；故选D
16. 给出下列三个命题：
命题1：存在奇函数f(x)（x?D1）和偶函数g(x)（x?D2），使得函数f(x)g(x)（x?D1是偶函数；
命题2：存在函数f(x)、g(x)及区间D，使得f(x)、g(x)在D上均是增函数，但f(x)g(x)在D上是减函数；
命题3：存在函数f(x)、g(x)（定义域均为D），使得f(x)、g(x)在x?x0（x0?D）处均取到最大值，但f(x)g(x)在x?x0处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】命题1：f(x)?g(x)?0，x?R；命题2：f(x)?g(x)?x，x?(??,0)； 命题3：f(x)?g(x)??x2，x?R；均为真命题，选D
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点. （1）求三棱锥E?DFC的体积；
（2）求异面直线A1E与D1F所成的角的大小. 【解析】（1）V?D2）
12?1?2? 33（2）cos??
5?5?244?，所成角为arccos
52?5?5518. 已知函数f(x)?3sin?x?cos?x. （1）当f(?)?0，且|?|?1，求?的值；
?3（2）在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a?3，b?c?3，当??2，
f(A)?1时，求bc的值.
【解析】（1）f(x)?2sin(?x?（2）f(A)?1?A?
19. 某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量f(t)、线下日销售量g(t)（单位：件）与上市时间t（t?N*）天的关 系满足：f(t)???1????)，f(?)?0????k?，|?|?1，∴?? 63362?3，由余弦定理，bc?2
10t1?t?10，g(t)??t2?20t（1?t?20），产品A每件的
??10t?20010?t?20??401?t?15（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.
2015?t?20?销售利润为h(t)??（1）设该公司产品A的日销售利润为F(t)，写出F(t)的函数解析式； （2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？
?40(?t2?30t),1?t?10?【解析】（1）F(t)??40(?t2?10t?200),10?t?15
?2?20(?t?10t?200),15?t?20（2）F(t)?5000?5?t?15，第5天到第15天
x2y220. 已知椭圆?:2?2?1（a?b?0），其左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，Oab为坐标原点，过F2的直线l交椭圆?于P、Q两点，sin?BF1O?（1）若直线l垂直于x轴，求
3. 3|PF1|的值； |PF2|（2）若b?12，直线l的斜率为，则椭圆?上是否存在一点E，使得F1、E关于直线l
2成轴对称？如果存在，求出点E的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设直线l1:y?6上总存在点M满足OP?OQ?2OM，当b的取值最小时，求直线l的倾斜角?.
x2y2|PF1|353??b2，l:x?2b，PF2?b，PF1?b，?5 【解析】（1）
33|PF2|31x2y21216??2，l:y?(x?2)，F1(?2,0)，关于l对称点E(?,?)，不在椭圆上 （2）
31552（3）设l:y?k(x?2b)，点差得lOM:y??1x，联立l1:y?6，得M(?36k,6)， 3k代入直线l，6?k(?36k?2b)，∴b??
335??33k?6，k??，?? k3621. 无穷数列{an}（n?N*），若存在正整数t，使得该数列由t个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n，an?1,an?2,???,an?t中至少有一个等于an，则称数列{an}具有性质T，集合P?{p|p?an,n?N*}.
（1）若an?(?1)n，n?N*，判断数列{an}是否具有性质T；
（2）数列{an}具有性质T，且a1?1，a4?3，a8?2，P?{1,2,3}，求a20的值； （3）数列{an}具有性质T，对于P中的任意元素pi，aik为第k个满足aik?pi的项，记
bk?ik?1?ik（k?N*），证明：“数列{bk}具有性质T”的充要条件为“数列{an}是周期为
t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数”.
【解析】（1）t?2，对任意正整数n，an?2?an恒成立，∴具有性质T （2）分类讨论，得结论，n?6，{an}有周期性，周期为3，∴a20?a8?2 （3）略
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