本讲高考热点解读与高频考点例析
考情分析
通过对近几年高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关问题．
真题体验
1．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已1
x＝t－，??t知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为?1
y＝t＋??t(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y＝3x.由1
x＝t－，??t?1y＝t＋，??t
得y－x＝4.
22
??y＝3x，由?22
?y－x＝4，?
2
?x＝，?2可得?
32y＝??2
2
?x＝－，?2或?
32y＝－，??2
2
2
不妨设A?
?232?
，?，
2??2
则B?－
?
?232?，－?， 22?
22?2?3232?2?
?－－?＋?－－?＝25.
2??22??2
故|AB|＝ 答案：25
2．(全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)＋y＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
??x＝tcos α，
(2)直线l的参数方程是?
??y＝tsin α
(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，
求l的斜率．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ＋12ρcos θ＋11＝0.
2
44
??x＝tcos α，
(2)法一：由直线l的参数方程?
?y＝tsin α?
(t为参数)，消去参数得y＝x2tan α.
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.
由圆C的方程(x＋6)＋y＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5. 又|AB|＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得90
＝， 4
515152
整理得k＝，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
333
法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝?ρ1＋ρ2?－4ρ1ρ2＝144cosα－44. 3152
由|AB|＝10得cosα＝，tan α＝±. 83所以直线l的斜率为
1515或－. 33
2
2
2
2
2
|－6k|1＋k2＝
36k?10?2
25－?即?，2
1＋k?2?
2
??x＝2＋t，
3．(全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：?
49??y＝2－2tx2y2
(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
??x＝2cos θ，
解：(1)曲线C的参数方程为?
?y＝3sin θ?
(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为 d＝6|，
5
|4cos θ＋3sin θ－5
d25
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
sin 30°5
4
其中α为锐角，且tan α＝. 3
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为
225
. 5
45
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