数学模型期末论文
经过实地测量，讲堂中中央部分的座位有 14 排×13 列，座位与座位之间左 右间隔 0.54 米，前后间隔 1 米。并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长 度单位均为米）： H D a ??4 18 1.1 12.1° h d *1 *an? * 4 3 3/14 3) 模型的求解
因为经过如上假设，最佳的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以问题 便转化成一个平面几何问题。为达到\视角尽可能大，仰角尽可能小\的目的， 就是在?线上选择合适的点使得角（? +?? ）尽量大，但角? 尽量小。由于? 和?? 的变化范围都在-90°-90°之间，所以可以用函数 arctan 来衡量角的大小。如
H-L L-(H-h) L+h-H H-L
图 所 示 ， tan?= , tan? = ??。 所 以?? = arc*an ，
s1 s1 *1 s1
L+h-H
?=arctan?（ 注 意 ， L+h>H 时 为 正 ）， 那 么 ， 问 题 进 一 步 转 化 为
s1 H-L L+h-H H-L arc*a* + arctan 尽量大，而 ar*ta* 尽量小。而后一目标可简化为
s1 s1 s* *-L s1
尽量小，即 尽量大。 s1 H-L
用数学语言写为：
s1
f1(s)=
*-*
H-L L+h-H
f2(s)=ar*tan +arctan
s* s1 F（s）=[*1(*1),f2(s1)]
T
在解的可行域 R 内,求多目标的极值问题可记为： m*x F(s1)
s1?R
这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用\化多为 单\的方法。下面就用\主目标优化法\对模型进行求解。所谓\主目标法\就 是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优 化，而使其他的目标降为约束条件。
进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进
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数学模型期末论文
电影院看电影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会 给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略 颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。查资料知，当仰角不大于 20°时， 短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。也就是说，视角大给人们带来的满 足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。所以 f*(*1)为主要目标，f1(s*)降 为约束条件 f2(s1) 那么问题转化为一个非线性规划： max*2(s1) d? s*? D *1(s1) 在求 f2(s1)极值时，利用 f2'(s1)=0,即： H-L L+h-H )'? (arctan (ar*ta* )' =0 s1 s1 H?? L *?? *?? * ??2 ??2 s1 s1 ? 0???2 2 (*?? L) (L?? h?? H) 1? 1? s12 s12 *?? H H?? L?? h ? 0???s12 ?? (H?? *) 2 s12 ?? (L?? h?? H) 2 将 L=（*1-d）*tan? +a=(s1-4)*3/14+1.1,*=4,h=*,代入整理得 3(s1? 4) 3(s1? 4) ? 2.9?? 0.1?1* 14 ? 0???3(s1? *) 3(s*? 4) s12 ?? ( ? 2.9)2 ?s1* ?? ( ? *.1)2 ? 14 14 用 *at*ab 解得 s1=1.6223<4 *-L *+*-H )'? (arctan )' 的图像（见下图） s1 s1 H-L L+h-* +a*ctan 由图像看出 f*(s)=arctan 的导数值恒负 s1 s1 画出 f=(arcta* - 6 - 数学模型期末论文 -0.*1 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.0* -0.07 -*.08 -0.09 -0.1 -0.11 4 * 8 10 *2 1* 16 进一步，算出各排的视角值 排数 1 2 31.*2* 9 14.257 * 26.988 1* 13.167 4 23.7 11 12.2*5 5 *1.03 12 11.405 6 *8.846 13 10.686 7 17.042 14 10.*5 视角 35.81* 排数 8 视角 15.533 以及各排的仰角值 排数 * 2 *0.85* 9 7.*614 * *4.805 10 5.5887 4 20.078 11 4.3204 * 16.331 1* 3.2177 6 *3.*13 13 2.2*09 7 10.*42 14 1.39*7 仰角 *8.679 排数 8 仰角 8.78** 视角是依排数递减的，再由约束条件 *2(s1) - * - 数学模型期末论文 4) 模型的分析 *-L L+h-* )'? (*rctan f=(arctan )' 在求导时没有在[4，17]的区间内出现理想 s* *1 零值，主要跟敬文讲堂的设置有关，它并不是专门的电影院，屏幕高度不够，悬 挂的很低，这就导致了仰角主要决定视角的大小，从第一排向后视角依次递减。 所以由敬文讲堂的这种设置，看电影时最好应该坐在第 5 排中央，这是一个有效 解。 下面关心此模型用在正规电影院的情形。广州最豪华的飞扬影城设计采用国 际标准，屏幕高 10 米，宽 14 米。而观众席全部采用高角度斜坡式，从第一行到 最后一行的坡度高达 4.* 米。它的其他数据与敬文讲堂相同，套用此模型解得从 一到十四排的视角为： 排数 1 2 43.8*7 * 36.7*9 3 44.9*3 10 34.942 4 44.796 11 33.182 5 43.*76 12 3*.516 6 42.276 13 *9.*51 * *0.521 ** 28.491 视角 40.665 排数 8 视角 38.657 仰角为： 排数 1 2 *5.067 9 *5.296 3 60.*91 10 32.158 4 55.29* 11 29.285 5 *0.729 12 26.656 6 4*.432 13 24.*52 7 42.425 *4 22.052 仰角 70.1*4 排数 8 仰角 38.71* 得到在此电影院观影，最优位置为第 *4 排中央的位置，这主要是由它宽大 的屏幕决定的，坐的靠后，反而观影满意度高，而影院也大力宣传：\最后一排 的观众感觉尤其奇妙，由于坡度高，会产生一种'空中看电影'的感觉\。这点 验证了模型的合理性。上述数据摘自新快报文章---《到天河城\空中看电影\》。 模型 2：寻找好位置 最优位置只有一个，去抢座位看电影的同学能竞争到那个位子可谓十分不 易，那么下面我们就来进一步分析，在抢不到最优位置的情况下，再选择哪里的 位子可以达到一个也算不错的观影效果。 - 8 -
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