专题七 选考部分 第 1 讲
坐标系与参数方程
年份 卷别 卷Ⅰ
考查内容及考题位置
极坐标及其应用· T 22 参数方程及其应用 ·T22 参数方程及其应用 ·T22
参数方程与普通方程的互化、点到直线的距 离·T22
直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求
命题分析
2018
卷Ⅱ 卷Ⅲ
1.坐标系与参数方程 是高考的选考内容之 一，高考考查的重点 主要有两个方面：一 是简单曲线的极坐标 方程；二是参数方程、 卷Ⅰ
2017 卷Ⅱ
法、三角形面积的最值问题 ·T22
直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的
极坐标方程与曲线的 综合应用．
卷Ⅲ
求法 ·T22
2．全国课标卷对此部
参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角
分内容的考查以解答
坐标方程的互化及应用 ·T23
卷Ⅰ
题形式出现，难度中 等，备考此部分内容
2016
极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线
卷Ⅱ
与圆的位置关系 ·T23
参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角
时应注意转化思想的 应用 .
卷Ⅲ
函数的最值 ·T23
极坐标方程及其应用
圆的极坐标方程
00
(综合型 )
－2ρ 若圆心为 M(ρ， θ
)，半径为 r，则圆的方程为： ρ
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
2
ρcos(θ－θ0
－ r2＝ 0. )＋ ρ
2
(1) 当圆心位于极点，半径为 r ： ρ＝ r；
(2) 当圆心位于 M(a， 0)，半径为 a： ρ＝ 2acos θ；
π
(3) 当圆心位于 M a，2 ，半径为
直线的极坐标方程
a： ρ＝ 2asin θ.
若直线过点 M (ρ，θ
00) ，且极轴与此直线所成的角为 几个特殊位置的直线的极坐标方程：
－ α)． α，则它的方程为： ρsin( θ－ α)＝ ρ0sin(θ0
(1) 直线过极点： θ＝ θ0 π
和 θ＝ π ＋ θ； 0
(2) 直线过点 M(a， 0)且垂直于极轴： ρcos θ＝ a；
(3) 直线过点 M b， 2 且平行于极轴：
1
ρsin θ＝ b.
[典型例题 ]
南昌模拟 )在平面直角坐标系
x＝ 2cos θ
xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (θ为参数 )，以坐标y＝2sin θ＋ 2
原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1) 求 C 的极坐标方程；
π 2π
(2) 若直线 l 1，l2 的极坐标方程分别为 θ＝ 6(ρ∈ R)，θ＝ 3 ( ρ∈ R)，设直线 l 1，l2 与曲线 C 的交点为 O，M，
N，求 △OMN 的面积．
ρ
2
x＝ 2cos θ
【解】 (1)由参数方程
2 22
(θ为参数 )，得普通方程为 x ＋ ( y－2) ＝ 4，所以 C 的极坐标方程为
y＝ 2sin θ＋ 2
θ＋ ρ
2
2
θ－ 4ρsin θ＝ 0，即 ρ＝ 4sin
θ.
cos
sin
π
π
(2) 不妨设直线 l1： θ＝ 6(ρ∈ R )与曲线 C 的交点为 O， M，则 ρM＝ |OM |＝ 4sin6＝ 2.
2π
又直线 l2： θ＝ 3 (ρ∈ R )与曲线 C 的交点为 O， N，则 ρN＝ |ON|＝ 4sin 2π π
3 ＝ 2 3.又 ∠MON ＝ 2，所以 S△OMN
1 1
2|OM ||ON|＝ 2×2×2 3＝ 2 3. ＝ (1) 极坐标方程与普通方程互化的技巧 ①巧用极坐标方程两边同乘以
ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有
2
ρcos θ，ρsin θ， ρ的形成，
然后利用公式代入化简得到普通方程．
②巧借两角和差公式，转化
ρsin( θ±α)或 ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．
③将直角坐标方程中的
x 换成 ρcos θ，将 y 换成 ρsin θ，即可得到其极坐标方程．
(2) 求解与极坐标有关问题的主要方法①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．
②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．
[ 对点训练 ]
1．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ－ π 3
＝ 1， M，N 分别为曲线 C 与 x 轴， y 轴的交点．
(1) 写出曲线 C 的直角坐标方程，并求
M， N 的极坐极；
(2) 设 M， N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．
π
解： (1) 因为 ρcos θ－ 3 ＝ 1，
π
2
π
所以 ρcos θ·cos3＋ ρsin θ·sin3＝ 1.
又
x＝ρcosθ，
y＝ ρsin θ，
22
所以 1x＋ 3y＝1，
2
即曲线 C 的直角坐标方程为
3
x＋ 3y－ 2＝ 0，令 y＝ 0，则 x＝ 2；令 x＝ 0，则 y＝ 2 3
3 .
所以 M(2，0)，N 0， 3 .
2 3 π
， .
所以 M 的极坐标为 (2， 0)， N 的极坐标为 3 2
3 (2) 因为 M，N 连线的中点 P 的直角坐标为
π
π
1， 3 ，所以 P 的极角为 θ＝6，
所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝6(ρ∈ R)．
2．(2018 高·考全国卷 Ⅰ )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝ k|x|＋ 2.以坐标原点为极点， x 轴正半 2
轴为极轴建立极坐标系，曲线
(1) 求 C2 的直角坐标方程；
C2 的极坐标方程为 ρ＋ 2ρcos θ－ 3＝ 0.
(2) 若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求
C1 的方程．
解： (1)由 x＝ ρcos θ， y＝ ρsin θ得 C2 的直角坐标方程为 (x＋ 1)2＋ y2＝ 4. (2) 由 (1)知 C2 是圆心为 A(－ 1， 0)，半径为 2 的圆． 由题设知， C1 是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条射线．记 由于 B 在圆 C2 的外面， 故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 点，或 l 2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2. l 1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共
|－ k＋ 2| 当 l 1 与 C2 只有一个公共点时， A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以 2
k ＋1
4
＝ 2，故 k＝－ 3或 k＝ 0.经检验，
4
当 k＝ 0 时， l 1 与 C2 没有公共点；当 k＝－ 3时， l 1 与 C2 只有一个公共点， l2 与 C2 有两个公共点．
|k＋2|
2
4
＝ 2，故 k＝ 0 或 k＝ 3.经检验，
当 l2 与 C2 只有一个公共点时， A 到 l 2 所在直线的距离为 2，所以 4
k ＋1
4
C1 的方程为 y＝－ 3|x|＋ 2.
当 k＝ 0 时， l 1 与 C2 没有公共点；当 k＝3时， l2 与 C2 没有公共点．综上，所求
参数方程及其应用 (综合型 )
直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程
点的
普通方程
轨迹
参数方程
3
相关推荐：
loading