高中数学第二章2.3.1直线与平面垂直的判定练习新人教A版必修2

(1) 求证:MN∥平面A′ACC′; (2) 求证:A′N⊥平面BCN; (3) 求三棱锥CMNB的体积. (1)证明:如图,连接AB′,AC′,

因为四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点, 所以AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点, 又点N为B′C′的中点,所以MN∥AC′,

又MN?平面A′ACC′,且AC′?平面A′ACC′, 所以MN∥平面A′ACC′.

(2)证明:因为A′B′=A′C′=2,点N为B′C′的中点, 所以A′N⊥B′C′.

又BB′⊥平面A′B′C′,所以A′N⊥BB′, 所以A′N⊥平面BCN. (3)解:由图可知

=

,

=2

,

因为∠BAC=90°,所以BC=

S△BCN=×2×4=4.

,

由(2)及∠B′A′C′=90°可得A′N=因为M为A′B的中点,

所以M到平面BCN的距离为,

所以==×4×=.

12.如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).

(1)求证:DE∥平面A1CB; (2)求证:A1F⊥BE;

(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由. (1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点, 所以DE∥BC.

又因为DE?平面A1CB,BC?平面A1CB, 所以DE∥平面A1CB.

(2)证明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC, 所以DE⊥AC.

所以DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC. 而A1F?平面A1DC, 所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD,

所以A1F⊥平面BCDE. 所以A1F⊥BE.

(3)解:线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ. 理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,

则PQ∥BC. 又因为DE∥BC, 所以DE∥PQ.

所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知,DE⊥平面A1DC, 所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, 所以A1C⊥DP.

所以A1C⊥平面DEP. 从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.