分类讨论思想在中学数学中的应用

期中论文

课程：中学数学解题研究题目：姓名：沙瑞珠学号：班级：

分类讨论思想在中学数学中的

应用 20111021226 2011级数学与应用数学2班

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分类讨论思想在中学数学中的应用

摘要：分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体

现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，它在人的思维发展中有着重要的作用，它贯穿于整个中学数学．它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于总结归纳数学知识，使所学知识条理化．本文依次阐述分类讨论思想的含义，分类讨论思想的标准和分类讨论的原则．并重点举例说明分类讨论思想在三角形，一元二次方程，集合，绝对值问题，不等式，函数，数列和排列组合中的应用等．

关键词：分类讨论 数学思想 解题策略 中学数学

1 引言

数学思想史对数学理论和内容的本质认识，是对数学规律的理性思考．有位著名的教育家曾经说过：真正的教育旨趣在于即使学生把教给他的所有知识都忘记了，但还有能使得他受用终生的东西，那种教育才是最高最好的教育．这里“受用终生的东西”在数学里就是指数学的基本思想方法．从而在数学教学中注重数学思想方法的渗透是极其重要的．分类讨论思想是一种非常重要的数学思想，它又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想.有关分类讨论的题目具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点.难度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域.所以探讨分类讨论思想在中学数学中的应用是具有实际意义的．

2 简述分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．

通过对复杂多变的事物按照一定的标准进行恰当的分类，有助于更为准确完整地认识事物，恰当的分类应该是既不重复又不遗漏．

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3 分类讨论思想的标准

一般地，在集合A上讨论某一数学问题时，可根据某个标准P，把A划分为子类A1,A2,...,An，这时，在A1,A2,...,An上实施对问题的讨论等价于在A上实施对问题的讨论，把P就叫做分类讨论的标准．

例如，对方程ax2?bx?c?0(a?0)及?=b2?4ac来说，判断方程实根的情况其分类讨论的标准是??0还是??0还是??0，这时我们可以简单的说按?分类．

又如，讨论函数y?logax(a?0,且a?1的单调性，其分类讨论标准是）0?a?1还是a?1，可以理解为按a分类．

n?(n?z)的值，其分类讨论标准可确定为n是奇数还是偶数，并可又如sin2简单的认为按n分类．

4 分类讨论的原则?1?

为了解决数学问题中的矛盾，分类旨在化大为小，化小为了，操作程序是各个击破．

一般地，在集合A上讨论某一数学问题有困难时，可按某一分类标准P把A划分为A1,A2,...,An的并集，而后，分别在A1,A2,...,An上讨论这个数学问题与在A上讨论这个数学问题相比较，其效果是一样的．

分类时，要遵循以下三条原则：

①Ai??,i?1,2,...,n； ②Ai③A1Aj??,i?j,且i,j,?1,2,...,n； A2...An?A；

下面阐述这三条原则各自的作用.

“①Ai??,i?1,2,...,n”可以保证问题不是在空集上讨论的，否则的话也就没有什么意义了； “②AiAj??,i?j,且i,j,?1,2,...,n”可以保证问题不会重复，也就是说，

在A1上讨论问题，肯定不含A2,A3,...,An中的元素；在A2上讨论问题，肯定不含

A1,A3,...,An中的元素；

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“③A1A2...An?A”可以保证问题不会遗漏，也就是说，分别在

A1,A2,...,An上讨论问题，其总和等于在A上讨论同一问题．

5 分类讨论思想在中学数学中的应用 5.1分类讨论思想在三角形中的应用

5.1.1 三角形的边长不明确时需分类讨论?2?

例1 如果三角形的两边长分别是 23 cm 和 10 cm , 第三边与其中的一边长相等，那边第三边的长是多少？

分析：由于题中所求的第三边与其中一边相等, 不明确具体,因此需分两种情况讨论．

解 ①当第三边的长为 23cm 时, 其三边长分别为 23cm 、23 cm 、10 cm ,它们满足三角形三边关系:两边之和大于第三边.因此, 这三边构成三角形.所以

第三边的长为 23 cm ； ②当第三边的长为 10 cm 时, 其三边长分别为 10cm 、10 cm 、23 cm , 因为

10?10?23，

所以它不能构成三角形,故第三边长不能为 10cm．

综上所述,第三边的长为 23cm．

例2:已知直角三角形两条边长为3和4，则第三边长为___.

分析：分类讨论：当4为直角边时，则另外一直角边为3。则第三边长为5。 当4为斜边时，则另一直角边为3，那么第三边长为√7.

评注 题中的条件：“第三边与已知两边的其中一边相等”，存在两种情况,这就是我们需进行分类讨论的依据.若不作两种情况的分类讨论就是思维不慎密, 将会出现漏解或错解．

5.1.2 三角形的高不明确时需分类讨论??

2例1 在三角形 A BC中,AB= 8，?ABC?300， A C= 5，则 B C等于多少？ 分析 根据题意可知，?A BC不是边AB和边AC的夹角，所以三角形A BC 的形状不确定，因此需进行分类讨论，才能正确、圆满地解决问题．

解 i）当AD落在?ABC的内部时，如图（1）所示，在Rt?ABD中，因为

AB?8,?ABC?300，

所以

AD?4,BD?8?cos300?43，

同理，在Rt?ACD中，

DC?AC2?AD2?52?42?3，

所以

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