2021届高考数学一轮复习训练第11讲条件概率与正态分布

第11讲 条件概率与正态分布

1.(2015年广东湛江一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为( )

75

A. B. C.5 D.3 33

2.设随机变量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，则P(2≤X≤4)＝( ) 1

A.＋p B.1－p 2

1

C.1－2p D.－p

2

3.夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖.产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海，一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )

A.0.05 B.0.007 5 11C. D. 36

4.在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为( )

A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2

5.(2018年皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约9450人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )

A.1 500 B.1 700 C.4 500 D.8 000 6.在如图X9-11-1所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分[曲线C为正态

分布N(0,1)的密度曲线]的点的个数的估计值为( )

图X9-11-1

A.2386 B.2718 C.3414 D.4773

7.(2018年山东聊城重点高中联考)已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm范围内的校服大约要定制( )

A.683套 B.954套 C.972套 D.997套

8.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数μ＝14，标准差σ＝2，绘制如图X9-11-2所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.

(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：

①P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≥0.6827； ②P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≥0.9545； ③P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≥0.9973.

评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线.试判断该生产线是否需要检修；

(2)将数据不在(μ－2σ，μ＋2σ)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望E(Y).

图X9-11-2

9.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图X9-11-3所示.

－

(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望.

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为μσ＝142.85≈11.95； ②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

图X9-11-3

10.某工厂改造一废弃的流水线M，为评估流水线M的性能，连续两天从流水线M生产零件上随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

第一天 合直径/ 559 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 mm 8 计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 第二天 合直径/ 560 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 mm 8 计 件数 1 1 2 4 5 21 34 21 3 3 2 1 1 1 100 记抽取的零件直径为X，经计算，第一天样本的平均值μ1＝65，标准差σ1＝2.2；第二天样本的平均值μ2＝65，标准差σ2＝2.

(1)现以两天抽取的零件来评判流水线M的性能.

(ⅰ)计算这两天抽取200件样本的平均值μ和标准差σ(精确到0.01)；

(ⅱ)现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)： ①P(μ－σ

评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线M的性能等级.

(2)将直径x在(μ－2σ， μ＋2σ]范围内的零件认定为一等品，在(μ－3σ， μ＋3σ]范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个，设ξ为抽到次品的件数，求ξ的分布列及其期望.

附注：参考数据：4.42≈2.102，44.2≈6.648，442≈21.024；

1n(xi?x)2. 参考公式：标准差σ＝?ni?1