2018-2019学年第一学期第三次月考试卷
高三理科数学
一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} 2. 若a为实数，且2＋ai
1＋i
＝3＋i，则a＝( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4 3．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y?e?x B．y?x
C．y?lnx
D．y?x3
4．函数
f(x)?lg2?x2?x的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称
5．已知cos(???)?45，且?为第三象限角，则tan2?的值等于(
)
A. 34 B．－324244 C －7 D．.7
6．要得到函数y?sin???4x???3??的图象，只需将函数y?sin4x的图象( A．向左平移π
12个单位
B．向右平移π
12个单位
C．向左平移π
3
个单位
D．向右平移π
3
个单位
-
1 - )
7. 已知向量a＝(1，m)，向量b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )
A．－2 C．－2或2
B.2 D．0
8. 等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A．－24 C．3
B．－3 D．8
9．在我国古代著名的数学专著《九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢( )
A．8日 C．12日
B．9日 D．16日
???10．若函数f(x)?sin??x??(??0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为
6??π
，则2
f(x)的一个单调递增区间为( )
A.
?????????, B. ????,? ?63??36??? ? )
C.
??5???2??, D. ???,?36?63?11．若直线y?ax是曲线y?2lnx?1的一条切线，则实数a＝(
1112A． B． C．e2 D．2e2
ee12．已知函数且当
f(x)是定义在R上的奇函数，y?f/(x)是y?f(x)的导函数，
x?(??,0)时，f(x)?xf/(x)?0成立．若a?f(log32)log32，
- 2 -
b?f(log52)log52，c?2f(2)，则a,b,c的大小关系是(
A．D．c )
b?a?c B．a?b?c C．c?a?b
?b?a
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知m∈R，向量a＝(m，7)，b＝(14，－2)，且a⊥b，则|a|＝________. .
14．若tan??3,则cos2??________.
??1?x??1?????,x?0,15．f(x)???3? 则f?f????________．
??9???logx,x?0,?316．数列
?a?满足an1?3a2?5a3?????(2n?1)an?2n,则a9= ________．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．
17. (本题满分12分)
π??
已知函数f(x)＝3cos?2x－?－2sin xcos x.
3??(1) 求f(x)的最小正周期；
?ππ?
(2) 当x∈?－，?时，求函数f(x)的值域.
?44?
18. (本题满分12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
①求C；
33
②若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
2
- 3 -
．
19. (本题满分12分)
已知数列{an}满足a1(1)求a2,a3；
?an?
(2)证明数列??是等差数列，并求{an}的通项公式．
?n?
20. (本题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn．
21. (本题满分12分)
已知常数a?1，且nan?1?(n?1)an?2n2?2n..
?log4an?1，求{bn}的前n项和Tn.
?0，f(x)?alnx?2x.
f(x)的极值；
(1)当a＝－4时，求(2)当
22. (本题满分10分)
- 4 -
f(x)的最小值不小于?a时，求实数a的取值范围．
??
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为参数)，在以O为
2
??y＝3＋2t极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为
2x＝t，
2
??4sin??2cos?.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|·|PB|的值．
- 5 -
高三理科数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.
C D D B D B C A B A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 52 14.
42? 15. 9 16. 517三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17. (本题满分12分)
33
解：(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
2213
＝sin 2x＋cos 2x 22π??2x＋＝sin??.
3??
2π
所以f(x)的最小正周期T＝＝π .....................6分
2(2)证明：设t?2x??πππ5π
,因为－4≤x≤4， 所以－6≤t≤6. 3所以?分
1??1??sin(2x?)?1 f(x)的值域为??,1? ………………….1223?2?18. (本题满分12分)
[解] ①由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
- 6 -
即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C.
1π
可得cos C＝，所以C＝. ..............................................6分
23133
②由已知得absin C＝.
22π
又C＝，所以ab＝6.
3
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋7. ……………………..12分 19. (本题满分12分)
解：(1)由已知，得a2－2a1＝4， 则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15. ……………………..6分 (2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，
nan＋1－n＋1anan＋1an得＝2，即－＝2，
nn＋1n＋1na1?an?
所以数列??是首项＝1，公差d＝2的等差数列．
1?n?an则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n....................12分 n20. (本题满分12分)
解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 当n＝1时，a1＝2－1＝1，满足an＝2n－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N)．…………..6分
- 7 -
(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝则bn＋1－bn＝
－
n＋12
，
n＋2n＋112
2
＝， 2
1
∴数列{bn}是首项为1，公差d＝的等差数列，
2∴Tn＝nb1＋
nn－1
2
d＝
n2＋3n4
. ………………12分
21. (本题满分12分)
解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，
aa＋2x2x－4
f′(x)＝＋2＝.当a＝－4时，f′(x)＝.
xxx∴当0
∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln 2，无极大值．…….6分
(2)∵f′(x)＝
a＋2x， x∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； 当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，
2?a?－，＋∞∴f(x)在??上单调递增； ?2?
aa??
由f′(x)<0得，0 2?2? a?a??a??a? －－∴当a<0时，f(x)的最小值为f??＝aln??＋2×?－?. ?2??2??2? - 8 - ?a??a??a? 根据题意得f?－?＝aln?－?＋2×?－?≥－a，即a[ln(－a)－ln 2]≥0. ?2??2??2?∵a<0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得－2≤a＜0， ∴实数a的取值范围是[－2,0)．……………………….12分 22. (本题满分10分) 解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0， ∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ， ∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5. …………….5分 ??(2)将直线l的参数方程?(t为参数)代入曲线C：(x＋1)＋(y－2)＝5， 2 ??y＝3＋2t2 2 2x＝t， 2 得到t2＋22t－3＝0， ∴t1t2＝－3， ∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3. ………………………10分 - 9 - 》好好学习》 - 10 -
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