所以y＝2a·ED＋a·AE＝2a
?23?＋a·?2－23tan θ?＝23a?2－sin θ?＋2a，θ∈?0，π?.(10分)
?3?3?cos θ?3?3cos θ???
2－sin θ－1＋2sin θ
记f(θ)＝，令f′(θ)＝＝0，
cos θcos2θππ
0，?.(11分) 解得θ＝∈?3?6?
π
0，?时，f′(θ)<0，函数f(θ)为减函数； 当θ∈??6?ππ?当θ∈??6，3?时，f′(θ)>0，函数f(θ)为增函数． π
所以当θ＝时，f(θ)取最小值，
6此时ymin＝4a(元)．(12分)
答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为
43
平方千米； 3
(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元．(14分) a2
18. (1)由长轴长2a＝4，准线间距离2×＝42，
c解得a＝2，c＝2，(2分) 则b2＝a2－c2＝2，
x2y2
即椭圆方程为＋＝1.①(4分)
42
(2) 若直线l的斜率不存在，则EF＝6， 136△AEF的面积S＝AD·EF＝不合题意；(5分)
22
若直线l的斜率存在，设直线l：y＝k(x－1)，②代入①得， (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，③
因为点D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立． 设点E(x1，y1)，F(x2，y2)， 4k2±223k2＋2
则x1，2＝，④(6分)
2（1＋2k2）EF＝
（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝
1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2·223k2＋2
.(7分)
1＋2k2
点A到直线l的距离d为
3|k|
，(8分) 1＋k2
223k2＋2323k4＋2k2113|k|2则△AEF的面积S＝d·EF＝··1＋k·＝＝10，(9分)
221＋k21＋2k21＋2k2解得k＝±1.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.(10分) (3)设直线AE：y＝
y1
(x＋2)， x1＋2
5y1
令x＝3，得点M?3，x＋2?，
?1?
5y2
同理可得点N?3，x＋2?，
?2?
5y15y2所以点Q的坐标为?3，2（x＋2）＋2（x＋2）?.(12分)
?12?y25y1
所以直线QD的斜率为k′＝?x＋2＋x＋2?，(13分)
4?12?而
k（x1－1）k（x2－1）y1y2
＋＝＋＝ x1＋2x2＋2x1＋2x2＋2
?2x1x2＋x1＋x2－4?.(14分) k???x1x2＋2（x1＋x2）＋4?
2k2－44k2
由(2)中③得，x1＋x2＝，xx＝，代入上式得，(15分)
1＋2k2121＋2k24k2－8＋4k2－4（1＋2k2）?y1y2?＋＝k??＝
x1＋2x2＋2?2k2－4＋8k2＋4＋8k2?－12k2
＝－. 2
18k3k则k′＝－
5
， 6k
5
所以k·k′＝－为定值．(16分)
6
19. (1) 设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 因为a1＝2，a2a4＝a1q·a1q3＝64， 解得q＝2，则an＝2n.(1分)
当n＝1时，a1b1＝2，则b1＝1，(2分)
当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n1＋2，① a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)·2n＋2，② 由①－②得，anbn＝n·2n，则bn＝n. 综上，bn＝n.(4分)
1111
1－??1－?…?1－?<(2)不等式λ??2b1??2b2??2bn?2bn＋1对一切正整数n都成立， 111
1－??1－?…?1－?<即λ??2??4??2n?1
， 2n＋1
＋
111
1－??1－?…?1－?>0， 因为??2??4??2n?当λ≤0时，不等式显然成立；(5分)
1111
1－??1－?…?1－?2n＋1<， 当λ>0时，则不等式等价于??2??4??2n?λ111
设f(n)＝(1－)(1－)…(1－)2n＋1，
242n则
f（n＋1） f（n）
?1－1?…?1－1??1－1?2n＋3?2??2n??2n＋2?＝
?1－1?…?1－1?2n＋1?2??2n?2n＋1·2n＋3＝＝2n＋24n2＋8n＋3
<1.(7分)
4n2＋8n＋4
所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…， 13所以>f(n)max＝f(1)＝，
λ223则0<λ<，
323
综上λ<.(8分)
3
(3) 在数列{cn}中，从b1至bk(含bk项)的所有项和是： (1＋2＋3＋…＋k)＋(21＋22＋…＋2k1)×2＝
－
k（k＋1）＋
＋2k1－4.(10分) 2
当k＝9时，其和是45＋210－4＝1 065<2 019， 当k＝10时，其和是55＋211－4＝2099>2019，(12分) 又因为2 019－1 065＝954＝477×2，(14分)
所以当m＝9＋(2＋22＋…＋28)＋477＝996时，Tm＝2 019. 即存在m＝996，使得Tm＝2 019.(16分) 20. 当a＝1，b＝1时，f(x)＝ln x－x，(1分) 11
则f′(x)＝－1，则f′(1)＝－1＝0.(3分)
x1又f(1)＝－1，
则所求切线方程为y＝－1.(4分)
(2) 当a＝1时，f(x)＝ln x－bx， 1－bx1
则f′(x)＝－b＝，(5分)
xx
由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)， ①若b≤0，则f′(x)>0恒成立， 则函数f(x)的增区间为(0，＋∞)；(6分) 1
②若b>0，则由f′(x)＝0，得x＝，
b
110，?时，f′(x)>0，则函数f(x)的单调增区间为?0，?；(7分) 当x∈??b??b?11
，＋∞?时，f′(x)<0，则函数f(x)单调减区间为?，＋∞?.(8分) 当x∈??b??b?
1
0，?，综上，当b≤0时，函数f(x)单调递增，增区间为(0，＋∞)；当b>0时，函数f(x)的单调增区间为??b?1
，＋∞?. 单调减区间为??b?
(3) 因为x1，x2分别是方程aln x－x＝0的两个根，即aln x1＝x1，aln x2＝x2. 两式相减a(ln x2－ln x1)＝x2－x1， x2－x1
则a＝，(9分)
x2lnx1
x2－x1
则不等式a<(1－m)x1＋mx2(m>0)，可变为<(1－m)x1＋mx2，
x2lnx1x2－1x1mx2两边同时除以x1得，<1－m＋，(10分)
x2x1lnx1
t－1x2令t＝，则<1－m＋mt在t∈(1，＋∞)上恒成立．
x1ln t因为1－m＋mt>0，ln t>0， 所以ln t－
t－1
>0在t∈(1，＋∞)上恒成立，(11分)
1－m＋mt
m2（t－1）
t－1（t－1）[m2t－（m－1）2]
令k(t)＝ln t－，则k′(t)＝＝
1－m＋mtt（1－m＋mt）2（m－1）21
①当≤1，即m≥时， 2
m2k′(t)>0在(1，＋∞)上恒成立， 则k(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又k(1)＝0，则k(t)>0在(1，＋∞)上恒成立；(13分) （1－m）21
②当>1，即0 m2??上单调递减， 则k(x) 综上，m≥.(16分) 221. 因为y＝3cos?2x－ ?t－（m－1）2?m2?? t（1－m＋mt）2 ， ? π?， 3?π2x－?，(4分) 所以y′＝－6sin?3??所以函数图象在x＝5ππ?5π 处的切线斜率k＝－6sin??6－3?＝－6.(6分) 12 5ππ?5π 当x＝时，y＝3cos??6－3?＝0，(7分) 125π x－?， 所以所求切线方程为y－0＝－6??12?即y＝－6x＋ 5π .(10分) 2 22. 设点M(x，y)，点B(x0，y0)． 因为M为AB的中点， 所以x＝ x0－2y0＋0 ，y＝，(4分) 22 所以x0＝2x＋2，y0＝2y.(6分) 将点B(x0，y0)代入圆x2＋y2－8x＋12＝0得(2x－2)2＋4y2＝4，化简得(x－1)2＋y2＝1. 即点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(10分) 23. (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，有AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC， →→→ 故可以{AB，AC，AA1}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分) 因为AB＝2，AC＝4，AA1＝3， 所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3)． 因为D是BC的中点，所以D(1，2，0)． → 所以DC1＝(－1，2，3)． 设n1＝(x1，y1，z1)为平面A1B1D的法向量， →→ 因为A1B1＝(2，0，0)，B1D＝(－1，2，－3)， →?n1＝0，??A1B1·?2x1＝0， 所以?即? ?→－x＋2y－3z＝0，111?n1＝0，??B1D· 令y1＝3，则x1＝0，z1＝2，所以平面A1B1D的一个法向量为n1＝(0，3，2)．(3分) 设直线DC1与平面A1B1D所成的角为θ， → 则sin θ＝|cosDC1，n1|＝ 126182 ＝， 9113×14 6182 所以直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值为.(5分) 91→→ (2) 由(1)知DC1＝(－1，2，3)，B1C1＝(－2，4，0)， 设n2＝(x2，y2，z2)为平面B1DC1的法向量， →??－x2＋2y2＋3z2＝0，n2＝0，??DC1·则?即? ?→－2x＋4y＝0，22?n2＝0，??B1C1· 令x2＝2，则y2＝1，z2＝0，所以平面B1DC1的一个法向量为n2＝(2，1，0)．(7分) 同理可以求得平面A1DC1的一个法向量n3＝(3，0，1)， 所以cosn2，n3＝ 632 ＝，(9分) 510×5 32 由图可知二面角B1DC1A1的余弦值为.(10分) 5
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