诚信考试，公平竞争；以实力争取过硬成绩，以诚信展现良好学风。
以下三种行为是严重作弊行为，学校将从严处理：1.替他人考试或由他人替考；2.通讯工具作弊；3.组织作弊。
南京工业大学 高等数学A-1期中 试题解答
一、填空题（本题共4小题，每小题2分，满分8分，请将正确答案填在题后的横线上） 1、极限lim(2xsinx??2014 - 2015 学年第1学期 使用班级 江浦2014级本科生
1sin3x?)? 2_ . xx2、作直线运动的质点的运动规律为S?t3?3t2，则它速度开始增加的时刻t? 1_ . 3、设常数k?0，函数f(x)?lnx?x?k在(0,??)内零点的个数为__2___ . e4、函数 y?f(x)在点x处可导，且f?(x)?2,则当?x?0 时，无穷小dy与?x的比较结果是__ 同阶但不等价的无穷小量_.
二、求下列函数或数列的极限（每题7分，共28分）
1?xsinx?cosx1?xsinx?cos2x?lim（1） lim
x?0x?0xxsin2()2[1?xsinx?cosx]22xsinx?sin2x?lim?2lim?4 2x?0x2x?0x()[1?xsinx?cosx]2etanx?esinxesinx(etanx?sinx?1)?lim（2）lim
x?0(1?x?1)[ln(1?x)?x]x?01x[ln(1?x)?x]21?xsinx?cos2x?2limx?0tanx?sinxtanx(1?cosx)?2lim x?0x[ln(1?x)?x]x[ln(1?x)?x]??2
12[x?x??(x2)?x]221x11x（3） lim(sin?cos)?lim[cos(1?2sin)]
x??x??xxxx11?lim(cos)x(1?2sin)x?e2 x??xx1x1x02注：lim(cos)?e?1,lim(1?2sin)?e.
x??x??xxx?0?2lim12x2本题也可利用对数转化求limex??21ln(sin?cos)xxx?e21limxln(sin?cos)xxx??.
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诚信考试，公平竞争；以实力争取过硬成绩，以诚信展现良好学风。
以下三种行为是严重作弊行为，学校将从严处理：1.替他人考试或由他人替考；2.通讯工具作弊；3.组织作弊。
（4）lim1(1?n2?n3??nn). n??nn1n1??(1?n2?n3??nn)?nn?nn nnnx???limx?e1xx???limlnxx?e?1,?limn?limnn?1
n??n??01n由夹逼准则知原极限lim1(1?n2?n3?n??n?nn)?1.
三、求下列函数的导数或微分（每题6分，共24分）
?x?arctantdyd2y（1）设?，求，2. 2dxdxy?ln(1?t)?2tdy[ln(1?t)]?1?t2解：???2t,
1?dx[arctant]1?t22d2yddyd1?()?(t2?)2? 2dtdxdxdxdxdx（2）设y?2?(t21.
)tanx，求dy. x1?e(1?ex)sec2x?tanx?ex解：dy?dx.
(1?ex)2（3）y?xcos2x，求y解：利用Leibnize公式：
12y?100??(cos2x)?100??x2?C100?(cos2x)?99?(x2)??C100?(cos2x)?98?(x2)??2?100?.
?2[xcos2x?100xsin2x?2475cos2x]注：.本题利用(cos2x)?n?1002
?2ncos(2x?n?). 21d2y（4）求由方程x?y?siny?0所确定的隐函数的二阶导数2.
2dx解：方程x?y?1siny?0两边分别对x求导，得 2122(?siny)?y?4siny1?y??cosy?y??0，解得y??,y?????. 2322?cosy(2?cosy)(2?cosy)南京工业大学 第 2 页 共 5 页
诚信考试，公平竞争；以实力争取过硬成绩，以诚信展现良好学风。
以下三种行为是严重作弊行为，学校将从严处理：1.替他人考试或由他人替考；2.通讯工具作弊；3.组织作弊。
四、解答下列各题
x?x2（1）（8分）求函数y?的间断点及其类型. 3x(x?x)解：函数在x?0及x?1处无定义，故其间断点为x?0及x?1; x?0处：
x?x21limf(x)?lim?lim??,所以x?0是无穷间断点（第二类） 3???x?0x?0x(x?x)x?0x(1?x)x?1处：
x?x211limf(x)?lim?lim?,所以x?1是可去间断点（第一类） x?1x?1x(x?x3)x?1x(1?x)21?axsin,x?0?（2）（12分）问a为何值时，函数f(x)??在???,???上 x?x?0?0,（i）连续； （ii）可导； （iii）一阶导数连续.
解：本题只需考查函数在x?0处的性质即可
1?0，此时a?0.
x?0x?0xf(x)?f(0)1?limxa?1sin,该极限存在，此时a?1,f?(0)?0. （ii）f?(0)?limx?0x?0x?0xxasin（i）由题意limf(x)?f(0)，即lim?1a?21?a?1?axsin?xcos,x?0（iii）当a?1时，f?(x)?? xx?0,x?0?a?1(axsin欲使limf?(x)?f?(0)，即lim?x?0x?011?xa?2cos)?0，此时a?2. xx（3）（10分）设数列{xn}满足x1??2，xn?1?sinxn，n?1,2,3,...，
1xx2（i）试证明此数列极限存在，并求出limxn； （ii）试求lim(n?1)n.
n??n??xn（i）证明：由归纳假设知，0?xn?1,n?1,2,3,...，又xn?1?sinxn?xn,由单调有界准则可知此数列极限存在；令a?limxn,则由xn?1?sinxn，得a?sina,故limxn?a?0；
n??n??limxx2sinxnxn2sinxx2（ii）解：lim(n?1)n?lim()?lim()?ex?0n??xn??x?0xnxn111ln(sinx)xx2?ex?0limsinx?xx3?ex?0limcosx?13x2?e.
?16
（4）（10分）以下两题任选其一（仅做一题）
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诚信考试，公平竞争；以实力争取过硬成绩，以诚信展现良好学风。
以下三种行为是严重作弊行为，学校将从严处理：1.替他人考试或由他人替考；2.通讯工具作弊；3.组织作弊。
（i）设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，f(0)?0，f(1)?f(2)?0，证明：至少 存在??(0,2)，使得f?(?)?f(?)。
（ii）设f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，f(1)?存在??(1,2)，使得f?(?)?1，f(2)?2，证明：至少 22f(?)?.
解：（i）
f(1)?f(2)?0，由介值定理，知???[1,2]，使得f(?)?0。
[注：也可详细讨论①若f(1)?0，?取为1即可；②若f(1)?0，则f(1)?f(2)?0，
???(1,2)，f(?)?0]
令
)可导，且?(x)?e?xf(x)，x?[0,2]，则?(x)在[0,2]上连续，在(0,2内
?(0)???(?)，0
由罗尔定理，存在??(0,2)，使得??(?)?0,即f?(?)?f(?)。
（ii）令?(x)?f(x))可导，且，x?[1,2]，则?(x)在[1,2]上连续，在(1,2内2x?(1)??(2?)，
由罗尔定理，存在??(0,2)，使得??(?)?0,即f?(?)?
附加题 （10分）
依次求解下列问题
（1） 证明方程e?xx2n+1122f(?)?。
=0有唯一的实根xn(n?01，，2，)；
（2） 证明limxn存在并求其值A；
n??（3） 证明当n??时，xn?A与证：（1）令fn(x)?e?xx2n+11是同阶无穷小。 n1?1?0， e，则 fn(0)?1?0，fn(?1)?由连续函数的零点定理知，对任意给定的自然数n ，均存在xn?(?1,0)，使得fn(xn)=0， 又因为
dfn(x)x=e?(2n?1)x2n?0,x?R，所以函数fn(x)关于x严格单调增加， dx南京工业大学 第 4 页 共 5 页
诚信考试，公平竞争；以实力争取过硬成绩，以诚信展现良好学风。
以下三种行为是严重作弊行为，学校将从严处理：1.替他人考试或由他人替考；2.通讯工具作弊；3.组织作弊。
故函数fn(x)=ex?x2n+1有唯一的实根xn，即对任意给定的自然数n，方程e?x的实根xn。 （2）由于 e?xxn2n?1x2n+1=0有唯一
xn2n?1n=0，即 xn=?exn2n?1，因为|xn|?1,且limxn?0，
n??2n?1所以 limen???e0?1，故A?limxn=?1。
n??注：由 e?xxn2n?1n=0得到 xn=?exn2n?1xn2n?1运用函数迭代思想
xn1x?A?e?11（3）因为 limn?lim?lim2n?1? ，故xn?A与是同阶无穷小。
n??n??n??111n2nnn?上式用到了 exn2n?1?1~xn(n??)的等价无穷小代换。
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