【数学热点锤炼】第74炼 利用几何关系求解圆锥曲线问题

高考数学热点问题专项

第74炼 利用几何关系求解最值问题

一、基础知识：

1、利用几何关系求最值的一般思路:

（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关

（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。

（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置

（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。 2、常见的线段转移：

（1）利用对称轴转移线段（详见例1）

（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。

（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。

（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径 （5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上） 3、与圆相关的最值问题：

（1）已知圆C及圆外一定点P，设圆C的半径为r则圆上点到P点

A距离的最小值为PM?PC?r，最大值为PN?PC?r（即连

CPB结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点 （2）已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN

解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为AB?2r?d，若AB最小，则数学热点问题

22高考数学热点问题专项

d要取最大，在圆中CP为定值，在弦绕P旋转的过程中， d?CP，所以d?CP时，

AB最小

（3）已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为PM?dC?l?r，距离的最大值为PN?dC?l?r（过圆心C作l的垂线，垂足为P，CP与圆C交于M，其反向延长线交圆C于N

（4）已知圆C和圆外的一条直线l，则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM 解：PM?MCNClPMlCP?r2，则若PM最小，则只需CP最小即可，

2所以P点为过C作l垂线的垂足时，CP最小

P?过P作圆的切线，则切线长PM最短

4、与圆锥曲线相关的最值关系：

x2y2（1）椭圆：设椭圆方程为2?2?1?a?b?0?

ab① 焦半径：焦半径的最大值为a?c，最小值为a?c

2b2② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直

ax2y2（2）双曲线：设双曲线方程为2?2?1?a?0,b?0?

ab① 焦半径：焦半径的最小值为a?c，无最大值

2b2② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直

a（3）抛物线：设抛物线方程为y?2px

① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为2p

2p 2数学热点问题

高考数学热点问题专项 二、典型例题：

例1：已知在平面直角坐标系中，点A??1,1?,B?3,4?，P为x轴上一动点，则PA?PB的最小值为___________

思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得：

AB?5，但从图像上发现无论P在何处，

（即使P,A,B共线时PA?PB?AB，无法取到等号。

等号也不成立），为了取到最值。考虑利用对称转移所求线段。作A关于x轴的对称点A，从而有AP?A'P，所以PA?PB转化为PA'?PB，可知当A,P,B三点共线时，

''?PA'?PB?min?A'B?41，即?PA?PB?min?41 答案：41

小炼有话说：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。

（2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件

例2：设抛物线y?4x上一点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线l:3x?4y?12?0的距离为d2，则d1?d2的最小值为（ ） A. 3 B.

21618 C. D. 4 55思路：通过作图可观察到直接求d1?d2的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可得d1为P到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为PF（其中F是抛物线的焦点，F?1,0?），所以

d1?d2?PF?d2PF?d2?dF?l?数学热点问题

，观察图像可得：

3?1?125?3