精品
3.1.1 平均变化率
[基础达标]
1. 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为________．
解析：∵A(1,3)，B(3,1)，
Δy－2
∴Δx＝3－1＝2，Δy＝1－3＝－2.∴平均变化率＝＝－1.
Δx2
答案：－1
2
2．一质点的运动方程是s＝4－2t，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为________；当Δt＝0.1时，相应的平均速度为________．
22
解析：∵Δs＝4－2(1＋Δt)－(4－2×1)
2
＝－2[2Δt＋(Δt)]，
Δs∴平均速度为＝－2(2＋Δt)＝－4－2Δt.
ΔtΔs当Δt＝0.1时，＝－4－2×0.1＝－4.2.
Δt答案：－4－2Δt －4.2
3．函数f(x)＝5x＋4，①在区间[0,1]上的平均变化率是________；②在任一区间[a，b](a 解析：①Δx＝1－0＝1，Δy＝f(1)－f(0)＝9－4＝5. Δy∴＝5. Δx②Δx＝b－a，Δy＝f(b)－f(a)＝(5b＋4)－(5a＋4)＝5(b－a)， Δy5b－a∴＝＝5. Δxb－a答案：5 5 123 4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x，③y＝x，④y＝中，平均变化率最大的是________． x解析：①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77.故③的平均变化率最大． 答案：③ 2 5．函数f(x)＝x－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________. Δyft－f－2解析：＝＝2， Δxt－－2 解得t＝5或t＝－2(舍去)． 答案：5 6．甲、乙二人跑步路程与时间关系如图所示，________跑得快． 解析：乙跑得快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小． 答案：乙 7．一正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at) cm，a为常数．试求在这一过程中铁板面积对温度的平均膨胀率． 解：铁板面积对温度的平均膨胀率即为铁板面积对温度的平均变化率． 精品 铁板面积s的增量Δs＝[10(1＋at)]－10＝100(at＋2at)． Δs100at＋2at2 则当温度从0 ℃变化到t ℃这一过程中，铁板面积对温度的平均膨胀率为＝＝100atΔtt－0 ＋200a. 28π 8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，求m的值． 3 4π34π34π3 解：ΔV＝m－×1＝(m－1)， 3334π3 m－1 ΔV328π2∴＝＝.∴m＋m＋1＝7. ΔRm－13∴m＝2或m＝－3(舍)． [能力提升] 2 1．函数y＝3x－2x－8在x1＝3处有增量Δx＝0.5，则f(x)在x1到x1＋Δx上的平均变化率是________． Δy8.7522 解析：Δy＝3×(3＋0.5)－2(3＋0.5)－8－(3×3－2×3－8)＝8.75.∴平均变化率为＝＝17.5. Δx0.5 答案：17.5 2．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________． 22 2222 解析：由图象可知W1(0) W1t0－W10W2t0－W20∴0>>， t0 W2t0－W20W1 |>| t0 ∴乙在[0，t0]上的平均变化率绝对值较大． 从而| 因此乙厂治污效果较好． 答案：乙 t0 t0－W10 |. t0 πππ 之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小． 632 π sin－sin 0 6π3 解：在0到之间的平均变化率为＝； 6ππ －06 ππ 在到之间的平均变化率为 32ππsin－sin 2332－3 ＝. πππ－233．求函数y＝sin x在0到33 ∵2－3<1，∴> π 2－3π . π3ππ32－3π ∴函数y＝sin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且在0到 6π32π6 之间的平均变化率较大． 32 4．(创新拓展)假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x－6x＋15x(元)，而售 32 出x台的收入是r(x)＝x－3x＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？ 解：由题意，生产并售出x台机器所获得的利润是： L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利润为： L20－L10870L＝＝＝87(元)． 20－1010
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