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a?bgcosC?cgcosB(射影定理) S4，则S1?S2cos??S3cos??S4cos? 其中?,?,?分别为S1面与S2,S3,S4面所成二面角的大其中a,b,c分别为角小． A,B,C的对边． 在ΔABC中， a2?b2?c2?2bccosA在四面体A-BCD中， 2222S?S?S?S?2S2S3cos??2S3S4cos??2S2S4cos?.1234 (余弦定理)． 其中?,?,?分别为S2面与S3面，S3面与S4面，S2面与S4面所成的二面角． 连结AO,BO,CO,DO设O是ΔABC内任意一设O是四面体A-BCD内任意一点，点，连结AO,BO,CO并延并延长交对面于点长交对边于点A?,B?,C?,则OA?OB?OC????1.AA?BB?CC? A?,B?,C?,D? ,则OA?OB?OC?OD?????1. AA?BB?CC?DD?
3. 平面几何与立体几何的类比：
立体几何与平面几何是前后衔接的两门相近科学，不少相关定理既有联系又有区别，立体几何的某些定理又可以溯源于平面几何中的某些定理因此立体几何的教学中可以由平面几何的知识类比引入的例子很多例如：
（1）平面上，在中?ABC,角A、B、C所对的边分别为 a、b、c
acosB?bcosA?c；（如图1）
C
a
b
A
图1 c
B
则acosB?bcosA?c。如图：
P
空间中，四面体P?ABC,面PAB、
A C 图2 B —
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面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为s1、s2、s3、s，三个面与底面所成的二面角分别为?、?、?则有
（2）平面上，在直角?ABC中,
P 角C?90，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c，边c上的高为h，则
111??222hab；有，
0s1cos??s2cos??s3cos??s。（如图2）
A 四
面
体
H D 图3 B F C 空间中，
E P?ABCPA?PB、PA?PC、PB?PC，PD?AB、 PE?BC 、PF?AC，点H为点P在面ABC内的射影，1111???2PD2PE2PF2。则有PH（如图3）
P A
（3）平面上，在直角?ABC中,角
C?900，角A、B、C所对的边分别
222a?b?c为 a、b、c,则有；
C 图4 B C
空间中，四面体P?ABC，
图5 r O A B
PA?PB、PA?PC、PB?PC，面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为s1、s2、s3、s，则有s12?s22?s32?s2。（如图4）
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(4) 平面上，在中?ABC,角A、B、C所对的边分别为 a、b、c，?ABC的内心为点O，内切圆的半径为r， ?ABC的面积为
1s?r(a?b?c)2S,则有；（如图5）
P
空间中，四面体P?ABC,面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为s1、s2、s3、s，体积为V，其内切求的半径为r，球心为O，则有
1V?r(s1?s2?s3?s)3。（如图6）
P A O r 图6 B C B E D
N
(5) 平面上，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两
图7 A C F L
M P B D N s?PABPA?PBA ?s点，则有?PCDPC?PD；（如图7）
空间中，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，
VP?ABEPA?PB?PE?VP?CDFPC?PD?PF图8 C M 点E、F为射线PL上的两点，则有
。（如图8）
（6） 平面内的正三角形与空间中的正四面体公式类比：
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正三角形的高l?3a,面积h?3a,2周长正四面体的高h?6a,3表面积S?32a.4 S?3a,体积2V?23a.12 正三角形内任意一点到三边的距离和为定值即正三角形的高。 正三角形的内切圆与外接圆的圆正四面体内任意一点到四个面的距离和为定值即正四面体的高。 正四面体的内切球与外接球的球心重合即正三角形的中心，半径比为心重合即正四面体的中心，半径比为１：２，r?3366a,R?a.r?a,R?a.63内切圆切于１：３，124内切球切于四个面的中心。 正四面体的四个面的中心的连线三边的中点。 正三角形的三边的中点的连线仍a构成正三角形，边长为2。
（二）类比思想在中学数列公式中的体现 1.等差数列有关公式?6?： 等差数列通式：
an?a1?(n?1)da1a仍构成正四面体，棱长为3。
an 其中为首项，为第n项的通项公式，d为公差
等差数列前n项和公式为：
sn?na1?n(n?1)d/2sn?(a1?an)n/2
2.等比数列有关公式?6?： 等比数列的通项公式是：
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an?a1?qn?1
等比数列前n项之和公式为： （1）当q≠1时， （2）当q=1时， 其中首项
a1Sn?a1(1?qn)/(1?q)或Sn?(a1?an?q)?(1?q)
Sn?na1(q?1)
与公比q都不为零。
三、类比思想在中学数学性质中的体现
（一）类比思想在中学几何性质中的体现
1.在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比： （1） 三角形存在唯一的外接圆和内切圆，
三棱锥存在唯一的外接球和内切球；
（2）三角形的三条中线相交于一点，且该点分每条中线的比为2:1， 三棱锥的四条中线相交于一点，且该点分每条中线的比为3:1； （3）三角形的三条角平分线交于一点，这个点是三角形内切圆的圆心，
三棱锥的六个二面角的平分面相交于一点，这个点是三棱锥内切球的球心。 （4）在直线上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中点；
在平面上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂线；
在空间中，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂面。
（5）在直线上，到定点的距离相等的点的集合是等距的两点；
在平面上，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的圆； 在空间中，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的球面。
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