（Ⅰ）用数量积为零求平面PQEF的法向量和平面PQGH的法向量，求它们的数
量积为零证出 面面垂直．
（Ⅱ）用数量积为零证出截面PQEF和截面PQGH都是矩形，用两点间的距离公式求出邻边得长度，再 求面积和．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面PQEF和平面PQGH的法向量，用数量积根据已知条件先求出b的值，再求向量所 成角的余弦值．
【解答】解：解法一：
（Ⅰ）证明：∵面PQEF∥A′D，平面PQEF∩平面A′ADD′=PF ∴A′D∥PF，同理可得PH∥AD′，
∵AP=BQ=b，AP∥BQ；∴APBQ是平行四边形，∴PQ∥AB， ∵在正方体中，AD′⊥A′D，AD′⊥AB， ∴PH⊥PF，PH⊥PQ，
∴PH⊥平面PQEF，PH?平面PQGH． ∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，
∴截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值．（8分）
（Ⅲ）解：连接BC′交EQ于点M．
∵PH∥AD′，PQ∥AB；PH∩PQ=P，AD′∩AB=A ∴平面ABC′D′∥平面PQGH，
∴D′E与平面PQGH所成角与D′E与平面ABC′D′所成角相等． 由（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC′D′， ∴EM与D′E的比值就是所求的正弦值．
设AD′交PF于点N，连接EN，由FD=1﹣b知
．
∵AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成45°角， ∴解得∴EM=
，即
，可知E为BC中点． ，又
，
．（12分）
，
∴D′E与平面PQCH所成角的正弦值为
解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D﹣xyz由已知得DF=1﹣b，
11
故A（1，0，0），A′（1，0，1），D（0，0，0），D′（0，0，1），P（1，0，b），Q（1，1，b），
E（1﹣b，1，0），F（1﹣b，0，0），G（b，1，1），H（b，0，1）． （Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中， 可得
，．
∵∵∵
，∴
，∴，∴
，
是平面PQEF的法向量． 是平面PQGH的法向量．
，
∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分）
（Ⅱ）证明：∵∴又∵
，
，∴PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
，
，又
，
，是定值．（8分）
，
，
在坐标系中可求得∴
∴截面PQEF和截面PQGH面积之和为
（Ⅲ）解：由已知得
与
成45°角，又
可得，
即，解得．
∴，又，
∴D′E与平面PQGH所成角的正弦值为（12分）．
12
【点评】本题主要考查空间中的线面、面面垂直和平行的定理，线面角的求法，解三角形等基础知识；本题为一题多解的情况，一种是向量法，另一种是几何法，对于求线面角向量法简单，因用此法；还考查转化思想与逻辑思维能力，属于难度很大的题．
20．（12分）（2008?辽宁）在直角坐标系xOy中，点P到两点
的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点． （1）写出C的方程； （2）若
，求k的值；
．
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有
【考点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题．
【分析】说明：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力． 【解答】解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴
，
为
故曲线C的方程为．（3分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
2
2
消去y并整理得（k+4）x+2kx﹣3=0， 故
．（5分）
13
若
2
，即x1x2+y1y2=0．
而y1y2=kx1x2+k（x1+x2）+1， 于是
2
，
化简得﹣4k+1=0，所以．（8分）
2
2
2
2
（Ⅲ）因为A（x1，y1）在椭圆上，所以满足y=4（1﹣x），y1=4（1﹣x1），
=（x1﹣x2）+4（1﹣x1﹣1+x2）=﹣3（x1﹣x2）
2
2
2
2
（x1+x2）=
．
知x2＜0，从而x1﹣x2＞0．又k＞0，
因为A在第一象限，故x1＞0．由故
即在题设条件下，恒有
，
．（12分）
【点评】本题考查椭圆方程的运用以及直线与椭圆的位置关系，难点在与计算量较大，平时
应加大训练的力度与方向性．
21．（12分）（2008?辽宁）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列．
（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论； （2）证明：
．
【考点】等差数列与等比数列的综合；数列递推式；数学归纳法． 【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）根据等差中项和等比中项的性质求得an和bn的关系式，分别求得a2，a3，a4及b2，b3，b4，推测出它们的通项公式．先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出ak和bk的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可．
（2）先n=1时，不等式成立，进而看n≥2时利用（1）中的{an}，{bn}的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设．
【解答】解：（1）由条件得2bn=an+an+1，an+1=bnbn+1 由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．
2
猜测an=n（n+1），bn=（n+1）． 用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
2
②假设当n=k时，结论成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1），
2
14
那么当n=k+1时，ak+1=2bk﹣ak=2（k+1）﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），bk+1=
2
2
=（k+2）
．
所以当n=k+1时，结论也成立．
2
由①②，可知an=n（n+1），bn=（n+1）对一切正整数都成立． （2）证明：
．
n≥2时，由（1）知an+bn=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n． 故
=
=
综上，原不等式成立．
【点评】本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．
22．（14分）（2008?辽宁）设函数
．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间，讨论满足fˊ（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）对a进行讨论，当a≤0时，f（x）＞0恒成立，关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）符合题意．当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
【解答】解：（Ⅰ）
故当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0． 所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（4分） 由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．（6分） （Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时， 由于
故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）．（10分） （ⅱ）当a＞0时，由n为正整数，
15
．（2分）
，
知，其中
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