【知识要点】
1．在平面上，建立一个直角坐标系xOy，若设x轴正方向上的单位向量为i，y轴正方向上的单位向量为j，则x轴上的向量可以表示成xi的形式，y轴上的向量总可以表示成yj的形式，其中x，y分别是它们的终点在数轴上的坐标．
2.平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一地表示成a=xi+yj的形式．
3．我们把a=xi+yj叫做向量a的坐标形式，把xi叫做向量a在x轴上的分向量，把yj叫做向量a在y轴上的分向量。把有序数列(x，y)叫做向量a在直角坐标系中的坐标，记作a=(x，y)，其中x叫做向量a的横坐标，y叫做向量a的纵坐标，a=(x，y)叫做向量a的坐标表示．
224．向量a=xi+yj的模|a|=x?y。
5. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则
a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2)
6. c=(x，y)，?为一实数，则?c=(?x，?y)。 7. 两非零向量平行的充要条件
设两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a//b ? x1 y2- x2 y1=0。 【基础训练】
????1．点A的坐标为(5，-1)，向量OA的坐标为 ；向量a=-2i+3j，向量a的坐标为 ．
2．已知a=(4，-3)，b=(5，2)，则a+b= ，a-b= ，5a = ，-b= ，2a-3b= ．
????????3．已知A、B两点的坐标，求AB，BA的坐标：
（1）A(5，3)，B(-3，2) （2）A(-2，1)，B(-5，-1)
4．计算下列向量的模
（1）a=(4，6) （2）b=(-5，2) （3）c=(-3，-4)
5．向量a=(x，2)，b=(3，- 6)，当x为何值时，a//b。
46
【能力训练】
1．已知a=(3，- 4)，且|?a|=10，求?。
§7.4 平面向量的内积
【知识要点】 1. 平面向量的夹角
????????已知两个非零向量a和b，作OA?a，OB?b则∠AOB叫做向量a和b的夹角，记作θ=
规定，0?≤θ≤180?。
当θ=0?时，向量a和b同向； 当θ=180?时，向量a和b反向；
当θ=90?时，称向量a和b垂直，记作a⊥b。 2. 平面向量的内积
把|a||b|cosθ这个乘积叫做向量a和b的内积（或数量积），记作a?b，即
a?b＝|a||b|cosθ (0≤ θ ≤π)
规定：零向量与任意向量的内积为实数0。 3.两个向量内积的性质：
（1）当a和b同向时，a?b＝|a||b|；
??特别地，当a＝b，a?a＝|a||a|或|a|=a?a．
（2）当a和b反向时，a?b＝-|a||b|。 （3）当a⊥b时，a?b＝0． 4．向量的内积运算满足的运算律： （1）a?b ＝b?a
（2）? (a ?b)= (?a) ?b= a ?(?b) （3）(a+b) ?c=a?c+b?c 5．用向量的坐标求内积
设平面向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则这两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即 a?b =x1 x2 + y1 y2．
x1x2?y1y2a?b当a,b是两个非零向量时，cosθ==。
2222|a|?|b|x1?y1x2?y2
47
a⊥b ? a?b＝0 ? x1 x2 + y1 y2=0。 【基础训练】
1．已知|a|=3，|b|=4， a与b的夹角为30?，求a?b．
2．已知a?a＝9，求|a|．
3．求下列向量的内积：
（1）a＝(4，-3)，b ＝(-1，-5) （2）a＝(-1，2)，b ＝(2，-1)
（1）a＝(2，3)，b ＝(-2，-3) （2）a＝(0，2)，b ＝(-3，0)
4．已知a＝(1，-2)，b ＝a＝(4，m)，若a⊥b，求m．
【能力训练】
1．已知a＝(3，4)，b ＝(-6，-8)，a与b的夹角为θ，求cosθ．
2．已知a＝(2，-1)，b ＝(-1，5)，求3a?2b
48
第八章 直线与圆的方程
§8.1两点间距离公式及中点公式
【知识要点】 1．两点间距离公式
设点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两点间距离公式：
22|P1P2| =(x2?x1)?(y2?y1)
2．中点公式
设点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，点P(x，y)是线段P1P2的中点，则中点公式：
x1?x2?x???2 ?
?y?y1?y2?2?【基础训练】
1．在平面直角坐标系中，已知A(1，-2)，B(3，5)，则|AB|= ，线段AB的中点坐标是 。
2．在平面直角坐标系中，已知C(-1，3)，D(2，- 4)，则|CD|=________，线段CD的中点坐标是 。
3．已知点A(7，-2)，B(-1，3)，则|AB|=________，线段AB的中点坐标是_________。 4．已知点A(4，-4)，B(8，10)，则|AB|等于（ ）．
A．12 B．65 C．56 D．253 5．已知两点A(2，-4)，B(-2，3)，则线段AB的中点坐标为（ ）． A．(0，-1) B．(0，-0.5) C．(4，-7) D．(2，-3.5) 【能力训练】
1．已知点A(-4，4)，B(a，9)，且|AB|=13，求a 的值。
2. 已知点A(-2，4)，AB的中点为M(0，3)，求点B的坐标。
49
§8.2直线的倾斜角和斜率
【知识要点】 1．直线的倾斜角
我们把一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。 2．直线的倾斜角范围
若直线的倾斜角α ，则0°≤ α <180°。直线与x轴平行时，倾斜角为0°。 3．直线的斜率
把直线倾斜角α ( α ≠ 90° )的正切值叫做直线的斜率。直线的斜率用k表示，k = tan α。 4．斜率公式
设直线l经过两个已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，并设直线l的倾斜角α ≠ 90° (x1≠x2)，那么直线
y?y1l的斜率k = 2.
x2?x1【基础训练】
1．已知直线l垂直于x轴，则直线l的倾斜角是 ，斜率 。 2．已知直线l垂直于y轴，则直线l的倾斜角是 ，斜率 。 3．直线l的倾斜角α的取值范围是 。
4．直线l1的倾斜角为30°，则l1的斜率为 ；直线l2的倾斜角为120°，则l2的斜率为 。
5．已知直线l1经过点A1(8，6)、B1(-2，-4)，则直线l1的斜率为 ；直线l2经过点A2(-1，3)、B2(1，-3)，直线l2的斜率为 。
6．已知直线AB的斜率为1，那么它的倾斜角是 。 7．下列命题中正确的是（ ）。
A．任何直线都有斜率 B．任何直线的斜率都不等于零 C．任何直线都有倾斜角 D．有的特殊直线的倾斜角不存在 8．经过下列两点的直线斜率不存在的是（ ）。 A．(2，1)，(3，2) B．(2，-3)，(-3，2) C．(1，4)，(-1，4) D．(4，3)，(4，6) 【能力训练】
1．过点M(-2，t)、N(2t，3)的直线的斜率为
50
1，求t的值。 2
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