微积分方法建模飞机的降落曲线数学建模案例分析

第二章 微积分方法建模

现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型.当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型.建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了.

§1 飞机的降落曲线

根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）.在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过

g/10（这里g是重力加速度）.已知飞机飞行高度h（飞临机场上空时），要在跑道上O点着

陆，应找出开始下降点x0所能允许的最小值.

y 一、 确定飞机降落曲线的方程 设飞机的降落曲线为 u y?ax3?bx2?cx?d 由题设有 y(0)?0,y(xh ?h. 0) 由于曲线是光滑的，所以y(x)还要满足y?(0)?0,y?(x0)x? 0.将上述的四个条件代入y的 x00 表达式

?y(0)?d?0?y?(0)?c?0? 32??y(x0)?ax0?bx0?cx0?d?h?y?(x)?3ax2?2bx?c?0000?得 a??2hx0,b?33hx02,c?0,d?0,

飞机的降落曲线为 y??hx02(23x?3x2) x0二、 找出最佳着陆点

飞机的垂直速度是y关于时间t的导数，故

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dyh6dx??2(x2?6x) dtdtx0x0其中

dxdx?u, 因此 是飞机的水平速度，dtdtdy6hux2??2(?x) dtx0x0垂直加速度为

d2y6hu2xdx6hu22x??2(?1)??2(?1) 2x0dtx0dtx0x0d2y6hu22x,则a(x)?2记 a(x)??1，x??0,x0? dt2xx00因此，垂直加速度的最大绝对值为 maxa(x)?6hu2x02 x??0,x0?

设计要求

6hu2x02?g60h，所以x0?u? （允许的最小值） 10g例如：u?540km/小时，h?1000m，则x0应满足：

x0?540?100060?1000?11737(m)

36009.8即飞机所需的降落距离不得小于11737米.

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