2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：一元二次不等式及其解法

第二节 一元二次不等式及其解法

[备考方向要明了]

考 什 么 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系； 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

[归纳·知识整合]

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 [探究] 1.ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切x∈R都成立的条件是什么？

?a>0，

提示：ax2＋bx＋c>0对一切x∈R都成立的条件为?

?Δ<0.

怎 么 考 1.以选择题或填空题的形式考查一元二次不等式的解法．如2012年重庆T2等． 2.已知二次函数的零点的分布，求一元二次方程中未知参数的取值范围． 3.与函数等知识综合考查一元二次不等式的相关知识. Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 有两相等实根x1＝x2＝b－ 2a{x|x≠－b} 2a 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) {x|xx2} 没有实数根 R {x|x1＜x＜x2} ? ?

?a<0，

ax2＋bx＋c<0对一切x∈R都成立的条件为?

?Δ<0.

2．可用(x－a)(x－b)>0的解集代替x－ax－ax－a

>0的解集，你认为如何求不等式<0，≥0及x－bx－bx－b

x－a

x－b

≤0的解集？ 提示：

x－a

x－b

＜0?(x－a)(x－b)<0； x－a

???x－a??x－b?≥0，x－b≥0????x－b≠0；

x－a

??x－a??x－b?≤x－b≤0???0，??

x－b≠0.

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∩B＝( ) A．{x|－4

D．{x|1

解析：选C 由x2－16<0，得－4

由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1， 故B＝{x|x>3或x<1}．

故A∩B＝{x|－4

x－3

x－1

≤0的解集为( ) A．{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1

x－3

???x－3??x－1?≤0，x－1≤0，得???

x－1≠0，

解之得1＜x≤3.

3．(教材习题改编)设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为???

x??

－1

3

??

，则ab的值为( A．－6 B．－5 C．6

D．5

解析：选C ∵x＝－1，1

3

是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，

)

b1b211∴－＝－1＋即＝.又－1×＝，

a3a33a∴a＝－3，b＝－2.∴ab＝6.

4．(教材习题改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．

解析：∵方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(m＋1)2＋4m>0，即m2＋6m＋1>0. ∴m<－3－22或m>－3＋22.

答案：(－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)

5．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． 解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16. ∴a>4或a<－4.

答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)

[例1] 求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0；(2)x2－4x－5≤0； (3)ax2－(a＋1)x＋1<0.

[自主解答] (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－13，x2＝4＋13.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13

(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}． (3)若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.

11

x－?(x－1)>0，解得x<，或x>1. 若a<0，则原不等式等价于??a?a1

x－?(x－1)<0. 若a>0，原不等式等价于??a?11

x－?(x－1)<0无解； ①当a＝1时，＝1，??a?a11

x－?(x－1)<0得 ②当a>1时，<1，解??a?a

一元二次不等式的解法

1

11

x－?(x－1)<0得 ③当01，解??a?a1

1

a

??1

x<或x>1?； 综上所述，当a<0时，解集为?x??a

?

?

?1?

11}；当0

?

?

?1?

?. a>1时，解集为?x?

?

?

若将本例(2)改为“x2＋4x＋5≤0”呢？ 解：∵Δ＝42－4×5＝16－20＝－4<0， ∴不等式x2＋4x＋5≤0的解集为?.

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一元二次不等式的解法

(1)对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解．

(2)对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集．

1．解下列不等式： (1)8x－1≤16x2； (2)x2－2ax－3a2<0(a<0)． 解：(1)原不等式转化为

16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0， 故原不等式的解集为R.

(2)原不等式转化为(x＋a)(x－3a)<0， ∵a<0，∴3a<－a.

∴原不等式的解集为{x|3a