课时作业(十五) 演绎推理 A组 基础巩固 1．下面几种推理中是演绎推理的是( ) A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1) 1111B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*) 1×22×33×4n?n＋1?C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行” D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2 解析：A为演绎推理，这里省略了大前提，B为归纳推理，C，D为类比推理． 答案：A 2．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在( ) A．大前提 B．小前提 C．推理过程 D．没有出错 解析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的． 答案：A 3．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( ) A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ 解析：根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确． 答案：A 4．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( ) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2 1331C．－＜a＜ D．－＜a＜ 2222解析：因为x?y＝x(1－y)，所以(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，即原不等式等价于(x－a)(1－x－a)＜1即x2－x－(a2－a－1)＞0. 所以Δ＝1＋4(a2－a－1)＜0即4a2－4a－3＜0. 13解得－＜a＜. 22答案：C 5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则必有( ) A．bf(a)＜af(b) B．af(b)＜bf(a) C．af(a)＜f(b) D．bf(b)＜f(a) 解析：构造函数F(x)＝xf(x)，则 F′(x)＝xf′(x)＋f(x)． 由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减． 若a＜b，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞bf(b)． 又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数， 所以bf(a)＞af(a)＞bf(b)＞af(b)．故选B. 答案：B 6．以下推理过程省略的大前提为： ________________________________________________________________________. 因为a2＋b2≥2ab， 所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab. 解析：由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c. 答案：若a≥b，则a＋c≥b＋c 7．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为__________判断． 解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断． 答案：否定 8．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有： ①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2 ②f(m＋1,1)＝2f(m,1)给出以下三个结论： (1)f(1,5)＝9.(2)f(5,1)＝16.(3)f(5,6)＝26. 其中正确结论为__________． 解析：由条件可知， 因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1， 所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9. 又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)， 所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1) ＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16， 所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝24f(1,1)＋10＝26. 故(1)(2)(3)均正确． 答案：(1)(2)(3) 9．用三段论的形式写出下列演绎推理： (1)正整数是自然数，3是正整数，所以3是自然数； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)0.332是有理数． 解析：(1)大前提：正整数是自然数． 小前提：3是正整数． 结论：3是自然数． (2)大前提：每一个矩形的对角线相等． 小前提：正方形是矩形． 结论：正方形的对角线相等． (3)大前提：所有的循环小数是有理数． 小前提：0.332是循环小数． 结论：0.332是有理数． ··· 10．已知α∥β，l⊥α，l∩α＝A(如图)，求证：l⊥β. 证明：如图，在平面β内任取一条直线b， 设平面γ是经过点A与直线b的平面，且γ∩α＝a. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行，大前提 α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提 所以a∥b.结论 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提 a?α，且l⊥α，小前提 所以l⊥α.结论 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条直线垂直，大前提 a∥b，且l⊥a，小前提 所以l⊥b.结论 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提 l⊥α，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提 所以l⊥β.结论 B组 能力提升 11．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1. (1)求证：|c|≤1. (2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2. 证明：(1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件， 所以|f(0)|≤1. 而f(0)＝c，所以|c|≤1. (2)当a＞0时，g(x)在[－1,1]上是增函数， 所以g(－1)≤g(x)≤g(1)． 又g(1)＝a＋b＝f(1)－c， g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c， 所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c， 又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1， 所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2， 所以－2≤g(x)≤2. 当a＜0时，可用类似的方法， 证得－2≤g(x)≤2. 当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c， g(x)＝f(1)－c， 所以－2≤g(x)≤2. 综上所述，－2≤g(x)≤2. 12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)． (1)求证：数列{an＋1－an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若数列{bn}满足4b1－14b2－1…4bn－1＝(an＋1)bn(n∈N*)，求证：{bn}是等差数列． 解析：(1)证明：∵an＋2＝3an＋1－2an， ∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， an＋2－an＋1∴＝2(n∈N*)． an＋1－an∵a1＝1，a2＝3， ∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)解：由(1)，得an＋1－an＝2n(n∈N*)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 －－＝2n1＋2n2＋…＋2＋1＝2n－1(n∈N*)． (3)证明：∵4b1－14b2－1…4bn－1＝(an＋1)bn， ∴4(b1＋b2＋…＋bn)－n＝2nbn， ∴2[(b1＋b2＋…＋bn)－n]＝nbn，①
2[(b1＋b2＋…＋bn＋bn＋1)－(n＋1)]＝(n＋1)bn＋1.② ②－①，得2(bn＋1－1)＝(n＋1)bn＋1－nbn， 即(n－1)bn＋1－nbn＋2＝0，③ nbn＋2－(n＋1)bn＋1＋2＝0.④
④－③，得nbn＋2－2nbn＋1＋nbn＝0， 即bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，
∴bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn(n∈N*)． ∴{bn}是等差数列．
相关推荐：
loading