?－3，3，－2?， ?22?
→→
|OA·PB|37
设AC与PB所成的角为θ，则cos θ＝＝，
14→→
|OA|·|PB|37
所以AC与PB所成的角的余弦值为.
14
37答案：
14
15．如图，在直三棱柱中ABC－A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若DG⊥EF，则线段DF长度的取值范围为________．
解析：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
11
则A(0,0,0)，E(0,1，)，G(，0,1)，F(x,0,0)，D(0，y,0)，
22→→
由于GD⊥EF，则GD·EF＝0，所以x＋2y－1＝0，
→
所以DF＝(x，－y,0)＝(－2y＋1，－y,0)，0 1 ∴0 2 21→ y－?2＋， 所以|DF|＝x2＋y2＋02＝5y2－4y＋1＝5??5?5 21 当y＝时，线段DF长度的最小值是，当y＝0时，线段DF长度的最大值是1， 55而不包括端点，故y＝0不能取； 5? . ?5，1?5 答案：?，1? ?5? 16．在空间直角坐标系中，点P(0,0,1)为平面ABC外一点，其中A(1,1,0)，B(0,2,3)，若平面ABC的一个法向量为n＝(1，m,1)，则点P到平面ABC的距离为________． →→ 解析：∵AB＝(－1,1,3)，n·AB＝0，∴m＝－2， → ∵PA＝(1,1，－1)， 故答案为?→|n·PA|26 ∴P到平面ABC的距离为d＝＝＝. |n|63 6 答案： 3 三、解答题 17．如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点． 求证：(1)MN∥平面PAD； (2)求PD与平面PMC所成角的正弦值． 1 解析：(1)取PD中点Q，连接AQ，QN，则QN∥DC，QN＝DC，又因为AM∥DC，AM 21 ＝DC，所以四边形AMNQ为平行四边形，所以MN∥AQ，因为MN?平面PAD，AQ?平面2PAD，所以MN∥平面PAD； (2)建立空间直角坐标系如图，因为PA＝AD＝AB＝2，所以P(0,0,2)，D(0,2,0)，M(1,0,0)， →→→ C(2,2,0)，PD＝(0,2，－2)，PM＝(1,0，－2)，PC＝(2,2，－2)．设平面PMC法向量为n＝(x， →→ y，z)，则n·PC＝0，n·PM＝0，解得x＝2z，y＝－z，令z＝1，则n＝(2，－1,1)．设PD与平3→ 面PMC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈PD，n〉|＝. 3 18．如图，四棱锥S－ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，SD⊥平面ABCD，M是SA的中点，AD＝SD＝CD＝2AB＝2. (1)证明：DM⊥平面SAB； (2)求二面角A－SB－C的大小； 解析：∵SD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥SD， 又AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD ∴DM⊥AB，∵AD＝SD＝2，M是SA的中点， ∴DM⊥SA，又SA∩AB＝A，∴DM⊥平面SAB. (2)∵DA，DC，DS两两互相垂直，以DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则S(0,0,2)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，M(1,0,1)， → 取n1＝DM＝(1,0,1)为平面SAB的一个法向量，设n2＝(x，y，z)为平面SBC的一个法向量，→→ SB＝(2,1－2)，SC＝(0,2，－2)，则 →??SB＝0，?n2·?2x＋y－2z＝0，11 ，1，1?， ???x＝，y＝1，z＝1，∴n2＝???2?2→2y－2z＝0，???n·SC＝0，?2 9 4 19．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E为线段AD的中点，如图1，沿BE将△ABE折起至△PAE，使BP⊥CE，如图2所示． 2 n1·n2 ∴cos〈n1，n2〉＝＝ |n1||n2| 1＋12 ＝ 2 ，由图形得：求二面角A－SB－C的大小为135°. 2 (1)求证：平面PBE⊥平面BCDE； (2)求二面角C－PD－E的余弦值． ∵PB⊥CE，PB∩PE＝P，∴CE⊥平面PBE， ∵CE?平面BCDE，∴平面PBE⊥平面BCED. (2)解：取BE中点O，连接PO，∵PB＝PE， ∴PO⊥BE， ∵平面PBE⊥平面BCDE，∴PO⊥平面BCDE. 解析：(1)证明：在图1中连接EC，则∠AEB＝∠CEB＝45°，∠BEC＝90°，BE⊥CE. 以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为 1111 ，－，0?，E?－，，0?，y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的直角坐标系，则B?2??2?22? 13?132112→→→，，0，D?－，，0?，P?0，0，?，PE＝?－，，－?，DE＝(0，－1,0)，CP＝C??22??22??2?2??22 →?－1，－3，2?，CD＝(－1,0,0)．设平面PDE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的法 22??2 向量为n＝(x2，y2，z2)， 112→ PE＝－x＋y－z＝0，?m·222由? → DE＝－y＝0，?m· 1 1 1 1 可得m＝(－2,0，2)； 2 2 2 132→ CP＝－x－y＋z＝0，?n·222由? → CD＝－x＝0，?n· 2 2 0，，2?； 可得n＝??3? m·n33 则cos〈m，n〉＝＝，由图形知二面角C－PD－E的平面角为钝二面角， |m|·|n|11 33 所以二面角C－PD－E的余弦值为－. 11 20．如图，四边形ABEF是矩形，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AD＝AF＝1，CF＝3. (1)证明：AF⊥平面ABCD； (2)求二面角A－DF－C的余弦值． 解析：(1)∵AC＝ 22＋22＝22， ∴AC2＋AF2＝(22)2＋12＝9＝CF2，即AC2＋AF2＝CF2， ∴∠FAC＝90°，即FA⊥AC. ∵四边形ABEF为矩形，∴AF⊥AB. ∵AB∩AC＝A，AB，AC?平面ABCD， ∴AF⊥平面ABCD. (2)∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD， ∵AF⊥AB，AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF， ∴AB，AD，AF两两互相垂直， 建立如图空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(－2,0,0)，C(－2，2,0)，D(0,1,0)，F(0,0,1)，
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