存在 ，使得不等式 成立， 即为
的最大值， ， ，
令
，
由 ，即 ，
由于 的导数为 ，即 在 递增， 且 时， ， 则 为 的极值点，
当 时， 递减，当 时， 递增， 则 时， 取得极大值，且为最大值1， 则 ；
当 时，设函数 ， ，
则当 ， ； 当 ， ．
当 时， ，依题意， ， 无零点； 当 时， ， ，
若 ，即 ，则e是 的一个零点； 若 ，即 ，则e不是 的零点； 当 时， ，
所以此时只需考虑函数 在 上零点的情况． 因为
3e^{2}-m'/>，所以
0'/>， 在 上单调递增． 当 时，
又 ，所以
当 时， ， 在 上无零点； 时， ，
又 ， 所以此时 在 上恰有一个零点； 当 时，令由由
，得 ．
，得 ； 0'/>，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，
， 所以此时 在 上恰有一个零点； 综上， 时， 没有零点； 时， 有一个零点；
高中数学难题100道
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时， 有两个零点．
第9题（函数与求导题）
1ax2?ax?1【解析】(1)f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???． 2xxxx?1时f?(x)?0，（i）若a≤2，则f?(x当且仅当a?2，所以f(x)在(0,??))≤0，
单调递减．
a?a2?4a?a2?4（ii）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?．
22a?a2?4a?a2?4当x?(0,)U(,??)时，f?(x)?0；
22a?a2?4a?a2?4a?a2?4当x?(,)时，f?(x)?0．所以f(x)在(0,)，
222a?a2?4a?a2?4a?a2?4(,??)单调递减，在(,)单调递增．
222(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2．
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则x2?1．由于
2f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21???1?a??2?a??2?a，
1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以
f(x1)?f(x2)1?a?2等价于?x2?2lnx2?0．
x1?x2x21?x?2lnx，由(1)知，g(x)在(0,??)单调递减，又g(1)?0，从而x设函数g(x)?当x?(1,??)时，g(x)?0．
所以
f(x1)?f(x2)1?x2?2lnx2?0，即?a?2． x2x1?x2高中数学难题100道 第 14 页 共 16 页
第10题（函数与求导题）
【解析】(1)当a?1时，f(x)≥1等价于(x2?1)e?x?1≤0．
设函数g(x)?(x2?1)e?x?1，则g'(x)??(x2?2x?1)e?x??(x?1)2e?x． 当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1． (2)设函数h(x)?1?ax2e?x．
f(x)在(0,??)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,??)只有一个零点．
（i）当a≤0时，h(x)?0，h(x)没有零点； （ii）当a?0时，h'(x)?ax(x?2)e．
当x?(0,2)时，h'(x)?0；当x?(2,??)时，h'(x)?0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增． 故h(2)?1??x4a是h(x)在[0,??)的最小值． 2ee2①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；
4e2②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；
4e2③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，
4由(1)知，当x?0时，e?x，
x216a316a316a31所以h(4a)?1?4a?1?2a2?1??1??0． 4e(e)(2a)a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．
e2综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．
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