3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标
①明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系,学会结合函数图象性质判断方程根的个数及多种方法求方程的根和函数的零点;
②通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律,在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界;
③通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律,还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性,“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.
合作学习
一、设计问题,创设情境 问题1:求下列方程的根. (1)6x-1=0;
2
(2)3x+6x-1=0;
5
(3)3x+6x-1=0.(如何解,会解吗?)
问题2:求下面方程的实数根. lnx+2x-6=0.
问题3:怎么解一般方程f(x)=0?
问题4:方程f(x)=0的根与函数y=f(x)之间有什么样的关系呢?
二、学生探索,尝试解决
活动1:请同学们先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数
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①方程x-2x-3=0的解为 ,函数y=x-2x-3的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
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②方程x-2x+1=0的解为 ,函数y=x-2x+1的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
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③方程x-2x+3=0的解为 ,函数y=x-2x+3的图象与x轴有 个交点,坐标为 .
根据以上观察结果,可以得到:
结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的 .若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图象与x轴无交点.
反思:函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?
活动2:所有函数都存在零点吗?什么条件下才能确定零点的存在呢? 三、信息交流,揭示规律
1
零点存在定理:
活动:出示这几个问题让学生思考,小组讨论:
(1)这个定理前提有几个条件?
(2)“有零点”是指有几个零点呢?只有一个吗?
(3)再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢?
(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗?
四、运用规律,解决问题
3
1.在下列哪个区间内,函数f (x)=x+3x-5一定有零点( ) A(-1,0) B.(0,1) C. (1,2) D.(2,3)
2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值表:
x 1 2 3 4 5 6 f(2-1--1
9 x) 3 7 1 5 2
7
-2
6
那么该函数在区间[1,6]上的零点有( )
A.只有3个 B.至少有3个 C.至多有3个 D.无法确定 五、变式演练,深化提高
22
1.函数f(x)=(x-2)(x-3x+2)的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2.若函数f(x)在[a,b]上连续,且有f(a)·f(b)>0.则函数f(x)在[a,b]上( ) A.一定没有零点 B.至少有一个零点 C.只有一个零点 D.零点情况不确定
x-1
3.函数f(x)=e+4x-4的零点所在区间为( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
4.若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点.则f(x)的零点个数为 . 五、反思
2
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