第26讲 赋值法

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第26讲 赋值法

数统治着宇宙.

——毕达哥拉斯

知识方法扫描

在解数学题时，将问题中的某些元素赋于适当的数值，把问题“数学化”，然后利用这些数值的大小、正负、奇偶及相互之间的运算结果等来进行推理解题的方法叫做赋值法.常见的赋值方式有：对点赋值、对字母赋值、对线段赋值、对小方格赋值、对区域赋值、对方向赋值.

电子线路中的开、关；数理逻辑中的是、非??就常用1，0来表示，这其实就是赋值。

赋值法的好处是：将实际问题转化为数学问题的同时，还将抽象的推理转化为具体的计算.

染色方法也是一种赋值法，只不过赋的是色不是数而已.凡是能用染色方法来解的题目，一般都可以用赋值法来解，只需将染成某一种颜色换成赋于某一数值就行了.因此，赋值法的适用范围更为广泛. 经典例题解析

1.染色问题

例1 在一个圆周上，依次排列n个点：A1，A2，?，An，对每个点任意染上白色或黑色.证明：在连接相邻两点的n条圆弧中，端点颜色不同的圆弧的条数必是偶数.

证明 我们简称端点颜色不同(相同)的圆弧为异色(同色)圆弧，用数代表颜色，白色记为1，黑色记为-1.任一点Ak(k=1，2，?，n)都唯一地对应一个数ak，ak=1或ak=-1.

显然，当akak?1=-1.

因为(a1a2)·(a2a3)·?·(ana1)=(a1a2?an)2=1，所以a1a2，a2a3，?，ana1这n个数中只能有偶数个-1.

即

这n条圆弧中必有偶数条异色圆弧.

为同色圆弧当且仅当ak·ak?1=1,

为异色圆弧当且仅

评注 若将题中的圆周从A1，An之间剪开，并将圆周拉成直线，附加条件A1与An异色，则得到如下问题：

在直线l上依次排列着n个点A1，A2，?，An，对每个点任意染上白色或

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黑色，若线段AiAi?1的两端异色，就称线段AiAi?1为标准线段，又已知A1与An异色，证明：直线l上共有奇数条标准线段.

证法与例1类似.

例2 将正方形ABCD分割成n2个相等的小方格(n是正整数)，把相对的顶点A、C染成红色，B、D染成蓝色，其交点染成红、蓝两色中任一种颜色.证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.

分析与解 不妨将红色记为1，蓝色记为-1，并将小方格编号，分别记为1，2，?，n2，记第i个小方格四个顶点相应数字的乘积为Ai，若恰有三个顶点同色，则Ai=-1，否则Ai=1.

在乘积A1A2?An2中，正方形内部的交点各点相应的代表数重复了4次；边上非顶点各点相应的代表数重复了2次；A、B、C、D四点相应的代表数乘积为1，所以A1A2?An2=1.这说明A1，A2，?，An2中-1的个数必为偶数，也就是恰有三个顶点同色的小方格数必为偶数.

评注 上述两例都属于“两色分布”问题，这里我们将两种不同的颜色赋于+1，-1，使染色问题转化为对数值正负性的研究.对于例2也可以将红点记为0，蓝点记为1，并记第i个小方格四个顶点相应数字之和为A(i=1，2，?，n2).若恰有三个顶点同色，则Ai=1或3，否则Ai为偶数，然后从考虑和A1+A2+?+An2的奇偶性入手进行论证.

例3 在一个圆上给定10个点，把其中6个点染成黑色的，余下的4个点染成白色的，它们把圆周划分为互不包含的弧段.我们规定：两端都是黑色的弧

1段标上数字2；两端白色的弧段标上数字；两端异色的弧段标上数字1；把所

2有这些数字乘在一起，求它们的乘积.

解 把黑点都标上2，白点都标上

12，则每段弧所标数字恰好是它两端

的数字的乘积.因此所有这些弧段所标数字的乘积就是所有点所标有的数字乘积的①

评注 这个解法反映了题目的实质，即乘法满足交换律、结合律.对①中的20个数的乘积

11 ② 2 2212个8个平方，即[(2)

6?12?4]

2=4.

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任意交换顺序，然后依次把两个两个作括号先结合，便对应着弧段上的一种染色方法.反过来，圆弧上的一种染色方法，也对应着②中的一次交换、结合过程.

正因为解法反映了题目的本质，它不仅优美，而且推广立即成为可能：当黑点为m个，白点为n个时，答案为2m?n.

2.棋盘问题

例4 将8×8方格纸板的一角剪去一个2×2的正方形.问余下的60个方格能否剪成15块形如“

”的小纸片？

解 将8×8方格纸板余下的60个小方格分别标上+1或-1(如图所示)，则任一符合要求的“四连格”中的数字之和，或者为2，或者为-2.

假定这60个小方格能剪成15块符合要求的“四连格”，设其中数字之和为2的有x块，数字之和为-2的有y块，则

15?x?,??x?y?15,?2解之得?x、y不是整数，矛盾.因此，题中所给的??2x?2y?0.?y?15.?2?60个小方格不可能剪成15块“四连格”小纸片.

例5 如图是半张象棋盘.

(1)一只马跳了n步回到起点，证明：n是偶数；

(2)一只马能否跳遍这半张棋盘，每格都不重复，最后一步跳回起点？

(3)证明：一只马不可能从位置B出发，跳遍半张棋盘而每个格点只经过一次(不要求最后跳回起点)；

(4)一只车从位置A出发，在这半张棋盘上每步走一格，走了若干步后到了位置B，证明：至多有一个格点没有被走过，或被走过不止一次.

解 在棋盘上打“×”号的格点记为+1，打“○”号的格点记为-1. (1)根据马的跳法，它每跳一步其符号改变一次，跳了n步，符号改变了n次.而它最后又回到了最初出发的地方，也就是经过n次改变以后，其符号还与当初一样.显然，n是偶数.

(2)不可能.图中共有45个格点，马要想跳遍这半张棋盘，它要跳45次.这与结论(1)矛盾，由此得证.

(3)图中有22个“×”，23个“○”，即有22个+1，有23个-1，所有这些数的和为-1，马是从B处出发的，即从+1出发，以后反复经过-1和+1，不管它跳多少步，它所经过的这些数的和要么是0(跳奇数步)，要么是+1(跳偶数步)，而不可能是-1，即马不可能无重复地跳遍这半张棋盘.

(4)车是从-1出发，反复经过+1，-1，?，然后走向+1，所以它所走过的数之和为0，而我们已指出过，这半张棋盘上所有数之和为-1，故这只车实际上没有走遍这半张棋盘，或者某些格点走过了不止一次.

3.操作问题

例6 图中，表甲是一个英文字母电子显示盘；每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变.改变的规则是，按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成下一个字母(即A变成B，B变成C，??，

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最后的字母Z变成A)，问能否经过若干次操作，使表甲变为表乙？如果能，写出变化过程，如果不能，说明理由.

SOBR KBDS 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 TZFD HEXG -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 HOCN RTBS -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 ADVX CFYA 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 (甲) (乙) (丙) (丁)

解 不能.对26个英文字母，按字母表顺序，依次1，-1相间地标数，于是表甲与表乙分别变为表丙、表丁.据题意，对表甲的一次操作，相当于对表丙的如下一次操作：某行或某列各数都乘-1，故每经一次操作表丙中各数之积-1不变.但表丁中各数之积为1，故经若干次操作不能使表丙变为表丁.于是相应地表甲经上述若干次操作不能变为表乙.

评注 也可对26个英文字母，依次以1，0相间地标数，则对表甲每次操作，相当于标数后的表中1变0，0变1.由于每行(列)中有4个数同时改变奇偶性，因此每操作一次各数之和的奇偶性保持不变，利用和的奇偶性即可得证.

例7 桌面上有p(p＞100)个杯子，杯口全部向上.按如下规则对杯子进行操作：第1次任意翻动其中1个杯子，第2次任意翻动其中2个杯子，??，第n次任意翻动其中n(n≤P)个杯子.每次操作都是把杯口的方向由原来的向上(或向下)改为向下(或向上)，求证：翻动100次以后，杯口向下的杯子必有偶数个.

证明 给杯口向上的杯子赋值+1，杯口向下的杯子赋值-1.则操作前各杯子的数值之积为a0=1.设第n次操作后各杯子的数值之积为an，依题意，如果有a100=1，则命题必成立.因为翻动一个杯子，相当于将该杯子的数值乘以-1，故an=(-1)n·an?1 (n≥1).由此得：

a1=(－1)·a0，a2=(－1)2·a1， a3=(－1) 3·a2，?， a100=(－1)100·a99.

将以上各式相乘，并约去公因式，即得 a100=a0·(－1)1?2???100 =1×(－1)5050=1.

故命题获证. 4.推理问题

例8 A、B、C、D、E五人参加一次考试，试题有7道，都是判断题.评分规则是：对于每道题，答对了得1分，答错了倒扣1分，不回答的不得分也不扣分，表中记录的是A、B、C、D、E五个人做的答案.现已知A、B、C、D各得了2分，问E应得多少分？每个题目正确的答案是什么？

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