常微分方程计算题及答案

《常微分方程》计算题及答案 24

1y?ex?C1cosx?C2sinx??e?x(cosx?sinx)。

8

57、y\?2y'?10y?e?xcos2x

??x?sinat,x58、?a?0

59、2y\?5y'?cos2x 60、y\?4y?xsin2x 61、y\?2y'?3?4sin2x 62、y\?2y'?2y?4excosx 63、y\?9y?18cos3x?30sin3x

??x?sint?cos2t x64、???2x??2x?tecost x65、?66、求微分方程y\?t2y'2?0的通解。 1?y67、求y\?1y'?xexcosx的通解。 xy'y\?2?0的通解。 xx268、求微分方程y\?69、求微分方程xyy\?x(y')?yy'?0的通解。 70、求微分方程y\?3y'?2y?e71、求微分方程y\?4y'?4y?2x?x?sinx的通解。

12xe的通解。 2x72、求方程y\?4y'?5y?ecscx的通解。 73、求微分方程xy\?2xy'?2y?0的通解。

74、求微分方程xy\?2xy'?2y?x?2的通解。

75、利用代换y?222ux将方程 y\x?2y'sinx?3ycosx?e 化简，并求出原方程的cosx 《常微分方程》计算题及答案 25

通解。

?dx?2t?2x?4y?4e??dt76、求下列线性微分方程组??dy?2x?2y??dt?dy1?dx?2y1?2y2??dy77、解下列微分方程组?2??y2?y2?dx?dy3?dx?2y3?(1)(1)

(2)(2)的通解。 (3)?dy?5y?4z??dx78、??dz?4y?5z??dx?dx?3x?4y??dt79、??dy?5x?2y??dt80、?

??5y??4y?x?2x??4y??2x?y?3x

计 算 题 答 案

１、解：对应的齐次方程y?+2xy=0的通解为y=ce-x

2

(41)

2

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e-x

2

代入方程y1+2xy=2xe-x得

《常微分方程》计算题及答案 26

c1(x)=2x因此有c(x)=x2+c (31所以原方程的通解为y=(x2+c)e-x2

）

(11)

２、解：按初始条件取 y0(x)?0

w2x2y1(x)?y0??0[x?y0(x)]dx?2

yx)?yw2x2x52(0??0[x?y1(x)]dx?2?20

ywx2x5x8x1123(x)?y0??0[x?y2(x)]dx?2?20?160?4400

3、解：对应的齐次方程为y\?y'-2y?0

特征方程为 ?2+??2?0解得? ?1,-2 对应的齐次方程通解为

Y?c1ex?x?2x2e （21）

设方程的一个特征解为y1=Ae-x

则y11=-Ae

-x

,y21=Ae-x

代入解得A=-1/2 从而y1?x1??2e （21）

故方程的通解为y?Y?ycx?2x1?1e?c2e?12e?x （21）4、解：它的系数矩阵是A??01???21??

特征方程|A??E|???121???0

或为?2-10?+9=0 （21） 特征根?1=1,?2=9

原方程对应于?1 =1的一个特解为y1=et,x1=-et （21） 对应于?2=9的一个特解为y1=e9t,x1=e9t （21）

?x?ct?原方程组的通解为?1e?t?c2e2?y??c?t2t （21） 1e?2c2e

5、解：对应的齐次方程 y1+2xy=0的通解为y=ce

-x2 (41) 用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e-x2

代入方程y1+2xy=4x得c1(x)=4ex2x因此有c(x)=2ex2

+c 所以原方程的通解为y=(2ex2+c)e-x2

(11)

(31）

《常微分方程》计算题及答案

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6、解：取y0(x)?0,yn(x)?y0(x)?x?[x?y2n?1(x)]dx

x21? 则y1(x)??xdx?02222x??x1??x5x3x2x11 y2(x)???x????dx??????022??2062430????x5x3x2x11????因此，第二次近似解为 y2(x)??。 2062430

7、解：对应的齐次方程为y11?y1-2y?0

特征方程为 ?+??2?0，得 ??1,-2对应的齐次方程通解为

2Y?c1ex?c2e-2x （21）

设方程的一个特征解为y1?Ae-x 则y11??Ae-x ,y111?Ae-x

代入解得A?-1，而y1?-e-x （21）

故方程的通解为y?Y?y1?c1ex?c2e-2x?e-x （21）

1dxdpx2?1x?8、解：由方程解出y，得y?， 代入dx?dy得即p?cx p?pxp2x2pc21故通解为y?(x?1)?

22c239、解：方程化为y'?y?2x

x 2(41) 对应的齐次方程y'?y?0 的通解为y=cx2

x用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)x2 代入方程得

c1(x)=2x因此有c(x)=x2+c (31）

所以原方程的通解为y=(x2+c)x2 (11)

10、解：取y(x)?0,y(x)?y(x)?0n0x?x0[x?y2n?1(x)]dx

2x则y(x)?1?0xdx?2

2x??x2??x2x5 y2(x)???x????dx??02220??????