一元二次函数知识点汇总

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一元二次函数知识点汇总

一元二次函数知识点汇总 一元二次函数知识点汇总

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的一元二次函数.2.二次函数yax2的性质

(1)抛物线yax2（a0）的顶点是原点，对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系：

时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

0①当a4.二次函数yax2222bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中hb，k4acb.

2a4a5.抛物线yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a决定抛物线的开口方向：

当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a越小，抛物线的开口越大，a越大，抛物线的开口越小。②对称轴为平行于y轴(或重合)的直线，记作xh.特别地，y轴记作直线x0.③定点是抛物线的最值点[最大值(a0时)或最小值(a0时)]，坐标为(h,k)。6.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2bb4acbb4acb2(1)公式法：yaxbxcax，∴顶点是.（，），对称轴是直线x2a2a4a2a4a22(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.

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2(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点

连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线x①b0时，对称轴为y轴；②ba2b2a,故：

0时,对称轴在y轴左侧；③ba0时,对称轴在y轴右侧. (3)c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.

2当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点(0，c)： ①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba0.

8.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2x0(y轴)yax(0,0)22222yax2k2当a0时开口向上a0时k当开口向下x0(y

轴)xhxhxb2a(0,k)(h,0)(h,k)2yaxhyaxh2yax2bxc4acb，(2a4ab)

9.用待定系数法求二次函数的解析式

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(1)一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)

(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah(3)抛物线与x轴的交点

ax22bhc).

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组

ykxn的解的数目来确定：2yaxbxc①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

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