[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编33.doc

[考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编33

一、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

0 函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式f'(x)+f(x)－

1 求导数f'(x)；

2 证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1成立。

3 利用代换y=u／cosx将方程y\－2y'sinx+3ysinx=ex化简，并求出原方程的通解。

4 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为值。

5 某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V／6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3，已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标。为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过m0／V。问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内。(注：设湖水中A的浓度是均匀的)

6 设函数f(x)，g(x)满足f'(x)=g(x)，g'(x)=2ex－f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求∫0π[

]dx。

，且

∫0xf(t)dt=0。

此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极

7 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1／2，0)。 (Ⅰ)试求曲线L的方程；

(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

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7 设函数y=y(x)在(－∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。

8 试将x=x(y)所满足的微分方程方程；

9 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y'(0)=2／3的解。

9 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(

10 求曲线y=f(x)的方程；

11 已知曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s。

12 用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1－x2)y\－xy'+y=0，并求其满足y|x=0=1，y'|x=0=2的特解。

12 设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=f(

13 验证f\

=0；

)满足等式

，1／2)，其上任一点P(x，y)处的法线与y+(y+sinx)(dx／dy)3=0变换为y=y(x)满足的微分

轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分。

14 若f(1)=0，f'(1)=1，求函数f(u)的表达式。

15 设y=y(x)是区间(－π，π)内过(表达式。

16 设函数y=f(x)由参数方程

(t＞－1)所确定，其中φ(t)具有二阶导数，)的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上

任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y\。求函数y(x)的

且φ(1)=5／2，φ'(1)=6，已知d2y／dx2，求函数φ(t)。

答案见麦多课文库

17 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记a为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若dα／dx=dy／dx，求y(x)的表达式。

18 设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excosy)满足f(0)=0，f'(0)=0，求f(u)的表达式。

19 设y(x)是区间(0，3／2)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线l：y(x)上的任意一点。l在P处的切线与y轴相交于点(0，Yp)，法线与x轴相交于点(Xp，0)，若Xp=Yp，求l上点的坐标(x，y)满足的方程。

20 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y'(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程。

21 如图，C1和C2分别是y=1／2(1+ex)和y=ex的图形，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图形。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2(y)。如

=(4z+excosy)e2x，若

果总有S1(x)=S2(y)，求曲线C3的方程x=φ(y)。

22 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增函数，且f(0)=1。对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。

23 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止

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开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)。

24 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7／8，问雪堆全部融化需要多少小时?

24 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内

无液体)。(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分。)

25 根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；

26 求曲线x=φ(y)的方程。

27 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。 现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h。经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×106)。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? 注：kg表示千克，km／h表示千米／小时。

28 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却，30min后该物体的温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间?

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