原来线性代数很简单

原来线性代数很简单!

第一章知识链

线性代数核心就这么一点内容(考研的主要部分,不是全部喔!)

线性方程组--->行列式--->矩阵--->向量--->向量空间--->线性方程组的解空间

整个知识链重点就是利用线性关系讨论线性方程组。讨论的关键就是线性相关、线性无关;讨论使用的重要工具就是“秩”!下面让我慢慢道来!

第二章线性方程组--->行列式--->矩阵

知识链:线性方程组--->行列式--->矩阵

提示:这章算是基本内容,很多人会轻视,但是如果在这里概念没掌握牢,下文将一塌糊涂!!

在很多年以前,有群吃饱饭没事干的数学家正在研究方程组,其中有一个特别吃得饱的突然对大伙说:“兄弟,不觉得写一堆方程式然后一个一个的代入消元太麻烦了吗?特别是浪费纸!”其他人点头称是,于是大家研究一番,发现如果把方程组的系数提出来计算更加的省纸,于是行列式诞生了!并且得出了克拉默法则!

克拉默法则:系数行列式不为零时,方程组有唯一解!

可是如果方程组的个数很少,不能构成行列式怎么办(行列式一定是方阵)?于是又有一个人提出了矩阵,利用一个数学符号把系数表示出来,而系数之间没有任何关系。并得到了矩阵的秩的概念,利用“秩”就可以讨论方程组解的情况了!

线性方程组的解定理:n元齐次线性方程组A(mxn)x=0有非零解充要条件R(A)

从此一场数学界的思想革命开始了!

第三章向量

知识链:线性方程组--->行列式--->矩阵--->向量

提示:注意线性方程组到向量概念的变化!

虽然说矩阵的出现方便了求解线性方程组,但是那群数学家非常不甘心,“连个小牛顿都能有万有引力,咱们得努力一下,弄个像样的数学工具!”一个数学家说!大伙都知道,就凭矩阵不足以震撼那些居于高位的教授们,于是他们又想到了把线性方程组用有序的数列来表示,这样向量诞生了!

注意:一个列向量代表一条衡的线性方程的系数!例如:

2x+5x+12x-9x=5

向量表示为(2

5

12

-9

5)

有了向量,就可以用向量组表示线性方程组了!

定义解释

线性组合:就是一组线性方程组方程之间相互加减。

线性表示:就是一个新的方程可以用一组线性方程组的相互加减得到。

线性相关:就是被上面线性表示的方程出现在方程组里。

线性无关:就是这几个方程就像过滤剩下的精华,它们之间不能相互表示,就是没有多余的方程!

定理1:向量b能有向量组A表示,则R(A)=R(A|b)

重大误区:许多人理解这个概念时,直接理解成为第二章的线性方程组解的判定,这是重大的错误!原因如下:

第二章是用矩阵讨论线性方程组的解,得到的方程组的解的内容。这里是讨论某个方程能够被其他方程表示的问题,而得到的x是怎么表示的系数,还没有讨论向量代表的方程组的解。本质不同!

有了线性表示的定理,可是这个表示是否唯一呢?于是得到如下定理:

定理2:向量组A线性相关充要条件矩阵A的秩

重大误区:在理解这里的矩阵时又有人以为就是第二章线性方程组系数矩阵的秩的讨论,这是重大的错误!原因如下:

第二章线性方程组的矩阵的秩直接表示方程系数,用来分析是否有解,解怎样表示的问题。这里的矩阵只是把向量很“没道理”的打乱其内部有序的数列,再利用矩阵的秩的运算达到的预期目而已。

说到这里,应该知道列向量组成的向量组是不允许行变换的!因此教科书中会先把向量转置后再行变换。