数学分析考试大纲

《数学分析》考试大纲

一、 课程性质和目的

《数学分析》是数学系的一门重要基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和极限论、单元和多元微积分、级数论、反常积分等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如《微分方程》、《实变函数》、《概率论与数理统计》及有关的《泛函分析》、《微分几何》等限选课程及《普通物理学》等）提供一些所需的基础理论和知识，另一方面还对提高学生思维能力，开发学生智能加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。

通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论、习题课、作业、辅导等），使学生对极限思想和方法有较深的认识和理解，从而有助于培养学生辩证唯物主义基本观点及正确理解《数学分析》的基本概念和论证方法及分析问题和解决问题的能力。

整个课程注重培养学生的数学逻辑及思想方法，训练学生举一反三的能力，在单元函数和多元函数相平行的内容以单元函数为主，引导学生通过独立思考得到多元函数的相应结论。

二、课程内容

充分条件，必要条件，充要条件，绝对值，不等式，函数，单调函数，周期函数，奇偶函数，复合函数，反函数，初等函数，数列极限，数列极限的性质，单调有界数列，子数列，函数极限，函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，两个重要极限，无穷小量与无穷大量，闭区间套定理，上确界与下确界，确界存在定理，有限覆盖定理，致密性定理，柯西

收敛准则，连续，左连续，右连续，间断点，函数在一点连续的性质，中间值定理，有界性定理，最大值与最小值定理，反函数的连续性定理，一致连续性定理，初等函数的连续性，导数，求导法则，微分，微分与导数的关系，高阶导数，高阶微分，参数方程求高阶导数，费尔马定理，洛尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，洛必达法则，泰勒公式，单调性判别法，极值，凹凸性，拐点，曲线的渐近线，函数作图，不定积分，换元法，分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式积分，无理函数的积分，平面图形的面积，立体的体积，平面曲线的弧长，曲线的曲率，上极限，下极限，数项级数，正项级数，任意项级数，绝对收敛，条件收敛，无穷乘积，无穷积分，瑕积分，反常积分的收敛与发散，反常积分的计算，柯西主值，函数列，函数项级数，一致收敛，非一致收敛，一致收敛级数的性质，幂级数的收敛域，幂级数的性质，幂级数的展开，富里埃级数，富里埃级数的展开，平面点集，多元函数的极限，多元函数的连续性，偏导数，全微分，方向导数，复合函数的偏导数，一阶全微分形式的不变性，高阶偏导数，高阶全微分，泰勒公式，多元函数的极值，隐函数存在定理，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，条件极值，含参变量的定积分，含参变量反常积分的一致收敛，含参变量反常积分的分析性质，欧拉积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第二型曲线积分，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，第一型曲面积分，第二型曲面积分，奥高公式，斯托克斯公式。

三、 考试要求

第一章 函数

考试内容：函数 单调函数 周期函数 奇偶函数 复合函数， 反函数 初等函数

考试要求：（1）正确理解和掌握函数的概念和性质，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式，了解函数的四则运算，复合函数及反函数的定义；（2）掌握初等函数的性质了解几个常见非初等函数的定义及性质；（3）理解函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等，会对初等函数是否具备这些性质进行验证。 第二、三章 数列极限与函数极限

考试内容：数列极限 数列极限的性质 单调有界数列 子数列 函数极限 函数极限的性质 函数极限与数列极限的关系 两个重要极限 无穷小量与无穷大量 闭区间套定理 上确界与下确界 确界存在定理 有限覆盖定理 致密性定理 柯西收敛准则

考试要求：（1）理解和掌握数列极限的“ε-N”定义；（2）会用数列极限的“ε-N”定义证明极限的存在性；（3）掌握数列极限的性质，并会证明；（4）会运用极限的四则运算、单调有界定理、两边夹定理、归结原则、柯西收敛准则证明极限的存在性；（5）会运用极限的四则运算、单调有界定理、夹逼定理、归结原则、柯西收敛准则求数列的极限；（6）会运用归结原则、柯西收敛准则证明极限不存在；（7）正确理解和掌握函数极限的严格定义，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；（8）会用极限的严格定义解决有关问题和证明极限的存在性，对极限不存在的含意会叙述并能正确理解；（9）掌握无穷小量、无穷大量的定义，掌握无穷小量阶的比较方法，会用等价无穷小求极限；

（10）会用四则运算性质、复合运算性质、两个重要极限来计算函数极限；（11）理解闭区间套定理、确界存在定理、有限覆盖定理、致密性定理、柯西收敛准则的条件和结论，理解这些定理的含意及其关系，熟练掌握各定理的证明方法。 第四章 连续函数

考试内容：连续 左连续 右连续 间断点 函数在一点连续的性质 中间值定理 有界性定理 最大值与最小值定理 反函数的连续性定理 一致连续性定理 初等函数的连续性

考试要求：（1）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），区间上函数连续的概念、间断点及其分类等概念；（2）对一般的函数，特别是初等函数会判别函数间断点的类型；（3）掌握函数在连续点的局部性质；（4）掌握闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理、反函数的连续性定理、一致连续性定理），并会应用这些性质；（5）理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法；（6）熟练掌握一致连续的概念，并会证明函数在某区间上的一致连续性与非一致连续性；（7）了解初等函数的连续性，并会应用这些性质求极限。 第五章 导数和微分

考试内容：导数 求导法则 微分 微分与导数的关系 高阶导数 高阶微分 参数方程求高阶导数

考试要求：（1）理解导数的定义及其几何、物理意义；（2）掌握可导与连续的关系；（3）熟练掌握求导运算的四则运算法则、复合函数求导法则及初等函数求导公式；（4）会求参数方程所决定函数的导数；（5）会求