第二节 函数的单调性与最值
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1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.
[基础自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=1
x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )
(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性.( )
(3)若定义在R上的函数f(x),有f(-1) (6)所有的单调函数都有最值.( ) 2.函数y=x2 -2x(x∈[2,4])的增区间为________. 3.若函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k的取值范围是________. 4.函数f(x)= 2 x-1 在[-6,-2]上的最大值和最小值分别是________. [典型例题] [例1](1)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2) B.y=-x+1 C.y=??1?2??x ? D.y=x+1 x (2)判断并证明函数f(x)=ax x2-1 (其中a>0)在x∈(-1,1)上的单调性. [例2]求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间. (1)若将本例中函数变为f(x)=|-x2+2x+1|,如何求解? (2)若将本例中函数变为f(x)=-x2+2|x|+1,如何求解? (3)若将本例中函数变为f(x)=log1(-x2+2|x|+1),如何求解? 2 [例3](1)函数y=x+x-1的最小值为________. (2)函数y=2x2-2x+3 x2-x+1 的值域为________. ?2(3)已知函数f(x)=??x+x-3,x≥1, 则f(x)的最小值是________. ??lg?x2+1?,x<1, [例4](1)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( ) A.f(-1) D.f(0)=f(3) (2)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,当x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2时,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0.设a=ln1 π,b=(ln π)2,c=lnπ,则( ) A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(a)>f(c) C.f(c)>f(a)>f(b) D.f(c)>f(b)>f(a) [例5](1)已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为________. (2)定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f?1?2??=0,则满足f(log1x)>0的x的集合 9为________. [例6](1)已知f(x)=?? ? -+3a,x<1, ??ln x,x≥1 的值域为R,那么a的取值范围是________. (2)已知f(x)=?? ??3a-1?x+4a,x<1,?是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( ?loga x,x≥1 ) A.(0,1) B.??0,13?? C.?111 ?7,3?? D.??7,1?? ??-x2 (3)设函数f(x)=?+4x,x≤4, ?若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数?log2 x,x>4. a的取值范 围是( ) A.(-∞,1] B.[1,4] C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞) [达标检测] 1.f(x)=x 1-x 在( ) A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数 D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数 2.已知函数f(x)=log1 2x+1-x,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 3.下列函数f(x)图象中,满足f(1 4 )>f(3)>f(2)的只可能是( ) 4.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x 的取值范围是( ) A.(8,+∞) B.(8,9] C.[8,9] D.(0,8) 5.已知函数f(x)=log1(x2 -ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是( ) 3 A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.???-12,2??? D.??1?-2,2??? 6.已知函数f(x)的值域为??3?8,4?9?? ,则函数g(x)=f(x)+1-2f?x?的值域为________. 7.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=???a,a≤b, ?函数f(x)=-x+3,g(x)=log? b,a>b. 2x,则函数h(x) =min{f(x),g(x)}的最大值是________. 8.对于函数f(x),若存在区间A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,则称函数f(x)为“同域函数”,区间A为函数f(x)的一个“同域区间”.给出下列四个函数: ①f(x)=cosπ 2x;②f(x)=x2-1;③f(x)=|2x-1|;④f(x)=log2(x-1). 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是________(请写出所有正确结论的序号). 9.已知函数f(x)=lg??x+a x-2??,其中a是大于0的常数. (1)求函数f(x)的定义域; (2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围. 第二节 函数的单调性与最值(答案) [基础自测] 1.×××××× 2.[2,4] 3.??1? -∞,-2??22? 4.-7,-3 [典型例题] [例1](1)A 函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. (2)法一:(定义法)设-1 ax2 则f(x1ax2ax1x22-ax1-ax2x1+ax2a?x2-x1??x1x2+1? 1)-f(x2)=x2-1-1x2=2-1?x21-1??x22-1?=?x21-1??x2 . 2 -1?∵-1 1 2 2 法二:(导数法)f′(x)=a?x-1?-2ax-a?x+1? ?x2-1?2=?x2-1?2 . 又a>0,所以f′(x)<0,所以函数f(x)在(-1,1)上为减函数. ??-x2+2x+1,x≥0,??-?x-1?2 +2,x≥0, [例2]解: f(x)=??=? ?-x2-2x+1,x<0 ??-?x+1?2 +2,x<0. 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1], 单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). (1)函数y=|-x2 +2x+1|的图象如图所示. 由图象可知,函数y=|-x2+2x+1|的 单调递增区间为(1-2,1)和(1+2,+∞); 单调递减区间为(-∞,1-2)和(1,1+2). (2)由-x2+2|x|+1≥0,得1-2≤|x|≤1+2,又|x|≥0,∴0≤|x|≤1+2, 即-1-2≤x≤1+2.根据函数图象可知,f(x)的单调递增区间为[-1-2,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,1+2 ]. (3)要使函数有意义,应有-x2 +2|x|+1>0,即-1-2 又函数f(x)=log1 (-x2 +2|x|+1)是函数y=log1μ和μ=-x2 +2|x|+1的复合函数, 2 2 ∴函数f(x)=log1 (-x2 +2|x|+1)的单调递增区间为(-1,0)和(1,1+2), 2 单调递减区间为(-1-2,-1)和(0,1). [例3](1)法一:令t=x-1,且t≥0,则x=t2+1,∴原函数变为y=t2 +1+t,t≥0. 配方得y=??1?t+2??213?+3 4 ,又∵t≥0,∴y≥4+4=1.故函数y=x+x-1的最小值为1. 法二:因为函数y=x和y=x-1在定义域内均为增函数,故函数y=x+x-1在其定义域[1,+∞)内为增函数,所以当x=1时y取最小值,即ymin=1. (2)y=2x2-2x+32?x2-x+1?+11 1 x2-x+1=x2-x+1=2+x2-x+1=2+?1?x-2?. ?2+34 ∵??x-112??2+33 4≥4,∴2<2+?≤2+4=10 .故函数的值域为??2,103??. ?x-12??2+3 334 (3)当x≥1时,x+2 x -3≥2 x·2x-3=22-3,当且仅当x=2 x ,即x=2时等号成立,此时f(x)min=22-3<0;当x<1时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0,此时f(x)min=0.所以f(x)的最小值为22-3. [例4](1)A 依题意得f(3)=f(1),且-1<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1) (2)C 由题意可知f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|),又|a|=ln π>1,|b|=(ln π)2>|a|,|c|=12ln π,且0<1 2ln π<|a|,故|b|>|a|>|c|>0,∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|),即f(c)>f(a)>f(b). ?a2 -a>0,[例5](1)(-3,-1)∪(3,+∞) 由已知可得? ?a+3>0, -1或a>3. ??a2-a>a+3, 解得-3 =0, 又y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,则y=f(x)在(-∞,0)上单调递增, ?log1x>0,于是??9?? flog1x>f??1??9?2? ?log1x<0,9或?? ?? flog1x>f??-1??9?2?, ?log1x>0,9?log1x<0, 9即??或??1?解得0 ? log1x>2 9 ? 3 或1 ? log1x>-1 2 ,9 [例6](1)???-1,12??? 要使函数f(x)的值域为R,需使??? 1-2a>0,? ?ln 1≤1-2a+3a, ?1∴??a<2, ??a≥-1, ∴-1≤a<12,即a的取值范围是??? -1,12???. (2)C 当x=1时,loga1=0,若f(x)为R上的减函数,则(3a-1)x+4a>0在x<1时恒成立, ?令g(x)=(3a-1)x+4a,则必有??3a-1<0,??3a-1<0, 解得11 ?即? ?g?1?≥0, ??3a-1+4a≥0, 7≤a<3 . 此时,logax是减函数,符合题意. (3)D 作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2, 即a≤1或a≥4,故选D. [达标检测] 1.C f(x)的定义域为{x|x≠1}.又f(x)=x11-x=1-x-1,根据函数y=-1 x的单调性及有关性质,可知f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数. 2.B ∵函数f(x)=log1 2x+1-x在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0,∴当x1∈(1,2)时,f(x1) 当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0,即f(x1)<0,f(x2)>0. 3.D 因为f(14)>f(3)>f(2),所以函数f(x)有增有减,排除A,B.在C中,f(1 4) f(1 4 ) ,?x-8>0, 解得8 ?? -, 5.D 令t=g(x)=x2-ax+3a,易知f(t)=log1t在其定义域上单调递减,要使f(x)=log1 ( x2-ax+ 3 3 3a)在[1,+∞)上单调递减,则t=g(x)=x2-ax+3a在[1,+∞)上单调递增,且t=g(x)=x2-ax+3a>0, 即??--a2 ≤1, ?a≤2,所以? 即-1 ??a>-1?2,2 6. ?7?9,78?? ∵38≤f(x)≤49,∴1 3 ≤1-2f?x?≤1 .令t= 1-2f?x?,则f(x)=1 12 (1-t2)??3≤t≤12 2??,令y=g(x),则y=11 12(1-t2)+t,即y=-2(t-1)2+1??3≤t≤12??.∴当t=13时,y有最小值79;当t=12时,y有最大值7?78.∴g(x)的值域为?7?9,8??? . 7.1 依题意,h(x)=???log2x,0 ?? -x+3,x>2. 当0 是减函数,则h(x)max=h(2)=1. 8.①②③ 当x∈[0,1]时,cosπ 2x∈[0,1],①正确;当x∈[-1,0]时,x2-1∈[-1,0],②正确;当x ∈[0,1]时,|2x-1|∈[0,1],③正确;因为y=log2(x-1)为单调递增函数,所以要为“同域区间”,需满足方程log2(x-1)=x有两个根,由图象可知y=x与y=log2(x-1)没有交点,④错误. 2 9.解:(1)由x+ax-2x+a x-2>0,得x >0, a>1时,x2 -2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞), a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1},01+1-a}. 2 (2)设g(x)=x+ax-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g′(x)=1-ax-a x2=x2>0恒成立, ∴g(x)=x+ax-2在[2,+∞)上是增函数.∴f(x)=lg???x+ax-2???在[2,+∞)上是增函数. ∴f(x)=lg???x+ax-2??a? 在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg2. (3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+a2 x -2>1对x∈[2,+∞)恒成立.∴a>3x-x, 而h(x)=3x-x2 =-??3?x-2??29?+4 在x∈[2,+∞)上是减函数,∴h(x)max=h(2)=2. ∴a>2,即a的取值范围为(2,+∞).
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