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第2节 函数的单调性与最值

来源:用户分享 时间:2025/7/11 2:47:52 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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第二节 函数的单调性与最值

[目标导航]

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.

[基础自测]

1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=1

x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )

(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性.( )

(3)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)

(6)所有的单调函数都有最值.( )

2.函数y=x2

-2x(x∈[2,4])的增区间为________.

3.若函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k的取值范围是________. 4.函数f(x)=

2

x-1

在[-6,-2]上的最大值和最小值分别是________. [典型例题]

[例1](1)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2)

B.y=-x+1 C.y=??1?2??x

?

D.y=x+1

x

(2)判断并证明函数f(x)=ax

x2-1

(其中a>0)在x∈(-1,1)上的单调性.

[例2]求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.

(1)若将本例中函数变为f(x)=|-x2+2x+1|,如何求解? (2)若将本例中函数变为f(x)=-x2+2|x|+1,如何求解? (3)若将本例中函数变为f(x)=log1(-x2+2|x|+1),如何求解?

2

[例3](1)函数y=x+x-1的最小值为________.

(2)函数y=2x2-2x+3

x2-x+1

的值域为________.

?2(3)已知函数f(x)=??x+x-3,x≥1,

则f(x)的最小值是________.

??lg?x2+1?,x<1,

[例4](1)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( ) A.f(-1)f(3) C.f(-1)=f(3)

D.f(0)=f(3)

(2)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,当x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2时,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0.设a=ln1

π,b=(ln π)2,c=lnπ,则( )

A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(a)>f(c) C.f(c)>f(a)>f(b) D.f(c)>f(b)>f(a)

[例5](1)已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为________. (2)定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f?1?2??=0,则满足f(log1x)>0的x的集合

9为________.

[例6](1)已知f(x)=??

?

-+3a,x<1,

??ln x,x≥1

的值域为R,那么a的取值范围是________.

(2)已知f(x)=??

??3a-1?x+4a,x<1,?是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( ?loga

x,x≥1

)

A.(0,1) B.??0,13?? C.?111

?7,3?? D.??7,1??

??-x2

(3)设函数f(x)=?+4x,x≤4,

?若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数?log2

x,x>4.

a的取值范

围是( )

A.(-∞,1] B.[1,4]

C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞) [达标检测]

1.f(x)=x

1-x

在( )

A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数 D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数

2.已知函数f(x)=log1

2x+1-x,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( )

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0

D.f(x1)>0,f(x2)>0

3.下列函数f(x)图象中,满足f(1

4

)>f(3)>f(2)的只可能是( )

4.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x

的取值范围是( )

A.(8,+∞) B.(8,9] C.[8,9] D.(0,8)

5.已知函数f(x)=log1(x2

-ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是( )

3

A.(-∞,2] B.[2,+∞)

C.???-12,2??? D.??1?-2,2???

6.已知函数f(x)的值域为??3?8,4?9??

,则函数g(x)=f(x)+1-2f?x?的值域为________.

7.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=???a,a≤b,

?函数f(x)=-x+3,g(x)=log?

b,a>b.

2x,则函数h(x)

=min{f(x),g(x)}的最大值是________. 8.对于函数f(x),若存在区间A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,则称函数f(x)为“同域函数”,区间A为函数f(x)的一个“同域区间”.给出下列四个函数:

①f(x)=cosπ

2x;②f(x)=x2-1;③f(x)=|2x-1|;④f(x)=log2(x-1).

存在“同域区间”的“同域函数”的序号是________(请写出所有正确结论的序号). 9.已知函数f(x)=lg??x+a

x-2??,其中a是大于0的常数. (1)求函数f(x)的定义域;

(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.

第二节 函数的单调性与最值(答案)

[基础自测]

1.×××××× 2.[2,4] 3.??1?

-∞,-2??22? 4.-7,-3 [典型例题]

[例1](1)A 函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. (2)法一:(定义法)设-1

ax2

则f(x1ax2ax1x22-ax1-ax2x1+ax2a?x2-x1??x1x2+1?

1)-f(x2)=x2-1-1x2=2-1?x21-1??x22-1?=?x21-1??x2

. 2

-1?∵-1

10,x1x2+1>0,(x1-1)(x2-1)>0.因此当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上为减函数. 2

2

2

法二:(导数法)f′(x)=a?x-1?-2ax-a?x+1?

?x2-1?2=?x2-1?2

.

又a>0,所以f′(x)<0,所以函数f(x)在(-1,1)上为减函数.

??-x2+2x+1,x≥0,??-?x-1?2

+2,x≥0,

[例2]解: f(x)=??=?

?-x2-2x+1,x<0 ??-?x+1?2

+2,x<0.

画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],

单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).

(1)函数y=|-x2

+2x+1|的图象如图所示.

由图象可知,函数y=|-x2+2x+1|的 单调递增区间为(1-2,1)和(1+2,+∞); 单调递减区间为(-∞,1-2)和(1,1+2).

(2)由-x2+2|x|+1≥0,得1-2≤|x|≤1+2,又|x|≥0,∴0≤|x|≤1+2,

即-1-2≤x≤1+2.根据函数图象可知,f(x)的单调递增区间为[-1-2,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,1+2 ].

(3)要使函数有意义,应有-x2

+2|x|+1>0,即-1-2

又函数f(x)=log1 (-x2

+2|x|+1)是函数y=log1μ和μ=-x2

+2|x|+1的复合函数,

2

2

∴函数f(x)=log1 (-x2

+2|x|+1)的单调递增区间为(-1,0)和(1,1+2),

2

单调递减区间为(-1-2,-1)和(0,1).

[例3](1)法一:令t=x-1,且t≥0,则x=t2+1,∴原函数变为y=t2

+1+t,t≥0.

配方得y=??1?t+2??213?+3

4

,又∵t≥0,∴y≥4+4=1.故函数y=x+x-1的最小值为1.

法二:因为函数y=x和y=x-1在定义域内均为增函数,故函数y=x+x-1在其定义域[1,+∞)内为增函数,所以当x=1时y取最小值,即ymin=1. (2)y=2x2-2x+32?x2-x+1?+11

1

x2-x+1=x2-x+1=2+x2-x+1=2+?1?x-2?. ?2+34

∵??x-112??2+33

4≥4,∴2<2+?≤2+4=10

.故函数的值域为??2,103??. ?x-12??2+3

334

(3)当x≥1时,x+2

x

-3≥2

x·2x-3=22-3,当且仅当x=2

x

,即x=2时等号成立,此时f(x)min=22-3<0;当x<1时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0,此时f(x)min=0.所以f(x)的最小值为22-3.

[例4](1)A 依题意得f(3)=f(1),且-1<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)

(2)C 由题意可知f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|),又|a|=ln π>1,|b|=(ln π)2>|a|,|c|=12ln π,且0<1

2ln π<|a|,故|b|>|a|>|c|>0,∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|),即f(c)>f(a)>f(b).

?a2

-a>0,[例5](1)(-3,-1)∪(3,+∞) 由已知可得?

?a+3>0,

-1或a>3.

??a2-a>a+3,

解得-3

=0, 又y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,则y=f(x)在(-∞,0)上单调递增, ?log1x>0,于是??9??

flog1x>f??1??9?2? ?log1x<0,9或??

??

flog1x>f??-1??9?2?, ?log1x>0,9?log1x<0,

9即??或??1?解得0

?

log1x>2

9 ?

3

或1

?

log1x>-1

2

,9 [例6](1)???-1,12??? 要使函数f(x)的值域为R,需使???

1-2a>0,?

?ln 1≤1-2a+3a,

?1∴??a<2,

??a≥-1,

∴-1≤a<12,即a的取值范围是???

-1,12???.

(2)C 当x=1时,loga1=0,若f(x)为R上的减函数,则(3a-1)x+4a>0在x<1时恒成立,

?令g(x)=(3a-1)x+4a,则必有??3a-1<0,??3a-1<0,

解得11

?即?

?g?1?≥0,

??3a-1+4a≥0,

7≤a<3

.

此时,logax是减函数,符合题意.

(3)D 作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,

即a≤1或a≥4,故选D.

[达标检测]

1.C f(x)的定义域为{x|x≠1}.又f(x)=x11-x=1-x-1,根据函数y=-1

x的单调性及有关性质,可知f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数.

2.B ∵函数f(x)=log1

2x+1-x在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0,∴当x1∈(1,2)时,f(x1)

当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0,即f(x1)<0,f(x2)>0.

3.D 因为f(14)>f(3)>f(2),所以函数f(x)有增有减,排除A,B.在C中,f(1

4)f(0),即

f(1

4

)0定义在(0,+∞)上的增函数,所以有?

,?x-8>0,

解得8

??

-,

5.D 令t=g(x)=x2-ax+3a,易知f(t)=log1t在其定义域上单调递减,要使f(x)=log1 ( x2-ax+

3

3

3a)在[1,+∞)上单调递减,则t=g(x)=x2-ax+3a在[1,+∞)上单调递增,且t=g(x)=x2-ax+3a>0,

即??--a2

≤1,

?a≤2,所以?

即-1

??a>-1?2,2

6. ?7?9,78?? ∵38≤f(x)≤49,∴1

3

≤1-2f?x?≤1

.令t=

1-2f?x?,则f(x)=1

12

(1-t2)??3≤t≤12

2??,令y=g(x),则y=11

12(1-t2)+t,即y=-2(t-1)2+1??3≤t≤12??.∴当t=13时,y有最小值79;当t=12时,y有最大值7?78.∴g(x)的值域为?7?9,8???

.

7.1 依题意,h(x)=???log2x,0

??

-x+3,x>2.

当02时,h(x)=3-x

是减函数,则h(x)max=h(2)=1.

8.①②③ 当x∈[0,1]时,cosπ

2x∈[0,1],①正确;当x∈[-1,0]时,x2-1∈[-1,0],②正确;当x

∈[0,1]时,|2x-1|∈[0,1],③正确;因为y=log2(x-1)为单调递增函数,所以要为“同域区间”,需满足方程log2(x-1)=x有两个根,由图象可知y=x与y=log2(x-1)没有交点,④错误.

2

9.解:(1)由x+ax-2x+a

x-2>0,得x

>0,

a>1时,x2

-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞),

a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1},01+1-a}. 2

(2)设g(x)=x+ax-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g′(x)=1-ax-a

x2=x2>0恒成立,

∴g(x)=x+ax-2在[2,+∞)上是增函数.∴f(x)=lg???x+ax-2???在[2,+∞)上是增函数. ∴f(x)=lg???x+ax-2??a?

在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg2. (3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+a2

x

-2>1对x∈[2,+∞)恒成立.∴a>3x-x,

而h(x)=3x-x2

=-??3?x-2??29?+4

在x∈[2,+∞)上是减函数,∴h(x)max=h(2)=2.

∴a>2,即a的取值范围为(2,+∞).

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