第二节 函数的单调性与最值
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1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质．
[基础自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝1
x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( )
(3)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1) (6)所有的单调函数都有最值．( ) 2．函数y＝x2 －2x(x∈[2,4])的增区间为________． 3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________． 4．函数f(x)＝ 2 x－1 在[－6，－2]上的最大值和最小值分别是________． [典型例题] [例1](1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1 C．y＝??1?2??x ? D．y＝x＋1 x (2)判断并证明函数f(x)＝ax x2－1 (其中a>0)在x∈(－1,1)上的单调性． [例2]求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间． (1)若将本例中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？ (2)若将本例中函数变为f(x)＝－x2＋2|x|＋1，如何求解？ (3)若将本例中函数变为f(x)＝log1(－x2＋2|x|＋1)，如何求解？ 2 [例3](1)函数y＝x＋x－1的最小值为________． (2)函数y＝2x2－2x＋3 x2－x＋1 的值域为________． ?2(3)已知函数f(x)＝??x＋x－3，x≥1， 则f(x)的最小值是________． ??lg?x2＋1?，x<1， [例4](1)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( ) A．f(－1) D．f(0)＝f(3) (2)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln1 π，b＝(ln π)2，c＝lnπ，则( ) A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a) [例5](1)已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________． (2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f?1?2??＝0，则满足f(log1x)>0的x的集合 9为________． [例6](1)已知f(x)＝?? ? －＋3a，x<1， ??ln x，x≥1 的值域为R，那么a的取值范围是________． (2)已知f(x)＝?? ??3a－1?x＋4a，x<1，?是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( ?loga x，x≥1 ) A．(0,1) B.??0，13?? C.?111 ?7，3?? D.??7，1?? ??－x2 (3)设函数f(x)＝?＋4x，x≤4， ?若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数?log2 x，x>4. a的取值范 围是( ) A．(－∞，1] B．[1,4] C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞) [达标检测] 1.f(x)＝x 1－x 在( ) A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 2.已知函数f(x)＝log1 2x＋1－x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( ) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 3.下列函数f(x)图象中，满足f(1 4 )>f(3)>f(2)的只可能是( ) 4.f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x 的取值范围是( ) A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8) 5.已知函数f(x)＝log1(x2 －ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( ) 3 A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C.???－12，2??? D.??1?－2，2??? 6.已知函数f(x)的值域为??3?8，4?9?? ，则函数g(x)＝f(x)＋1－2f?x?的值域为________． 7.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝???a，a≤b， ?函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log? b，a>b. 2x，则函数h(x) ＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 8.对于函数f(x)，若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f(x)，x∈A}＝A，则称函数f(x)为“同域函数”，区间A为函数f(x)的一个“同域区间”．给出下列四个函数： ①f(x)＝cosπ 2x；②f(x)＝x2－1；③f(x)＝|2x－1|；④f(x)＝log2(x－1)． 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是________(请写出所有正确结论的序号)． 9.已知函数f(x)＝lg??x＋a x－2??，其中a是大于0的常数． (1)求函数f(x)的定义域； (2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围． 第二节 函数的单调性与最值(答案) [基础自测] 1.×××××× 2.[2,4] 3.??1? －∞，－2??22? 4.－7，－3 [典型例题] [例1](1)A 函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． (2)法一：(定义法)设－1 ax2 则f(x1ax2ax1x22－ax1－ax2x1＋ax2a?x2－x1??x1x2＋1? 1)－f(x2)＝x2－1－1x2＝2－1?x21－1??x22－1?＝?x21－1??x2 . 2 －1?∵－1 1 2 2 法二：(导数法)f′(x)＝a?x－1?－2ax－a?x＋1? ?x2－1?2＝?x2－1?2 . 又a>0，所以f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数． ??－x2＋2x＋1，x≥0，??－?x－1?2 ＋2，x≥0， [例2]解： f(x)＝??＝? ?－x2－2x＋1，x＜0 ??－?x＋1?2 ＋2，x＜0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． (1)函数y＝|－x2 ＋2x＋1|的图象如图所示． 由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的 单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)； 单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)． (2)由－x2＋2|x|＋1≥0，得1－2≤|x|≤1＋2，又|x|≥0，∴0≤|x|≤1＋2， 即－1－2≤x≤1＋2.根据函数图象可知，f(x)的单调递增区间为[－1－2，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1,1＋2 ]． (3)要使函数有意义，应有－x2 ＋2|x|＋1>0，即－1－2 又函数f(x)＝log1 (－x2 ＋2|x|＋1)是函数y＝log1μ和μ＝－x2 ＋2|x|＋1的复合函数， 2 2 ∴函数f(x)＝log1 (－x2 ＋2|x|＋1)的单调递增区间为(－1,0)和(1,1＋2)， 2 单调递减区间为(－1－2，－1)和(0,1)． [例3](1)法一：令t＝x－1，且t≥0，则x＝t2＋1，∴原函数变为y＝t2 ＋1＋t，t≥0. 配方得y＝??1?t＋2??213?＋3 4 ，又∵t≥0，∴y≥4＋4＝1.故函数y＝x＋x－1的最小值为1. 法二：因为函数y＝x和y＝x－1在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋x－1在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x＝1时y取最小值，即ymin＝1. (2)y＝2x2－2x＋32?x2－x＋1?＋11 1 x2－x＋1＝x2－x＋1＝2＋x2－x＋1＝2＋?1?x－2?. ?2＋34 ∵??x－112??2＋33 4≥4，∴2<2＋?≤2＋4＝10 .故函数的值域为??2，103??. ?x－12??2＋3 334 (3)当x≥1时，x＋2 x －3≥2 x·2x－3＝22－3，当且仅当x＝2 x ，即x＝2时等号成立，此时f(x)min＝22－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为22－3. [例4](1)A 依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数得f(－1) (2)C 由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，又|a|＝ln π>1，|b|＝(ln π)2>|a|，|c|＝12ln π，且0<1 2ln π<|a|，故|b|>|a|>|c|>0，∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|)，即f(c)>f(a)>f(b)． ?a2 －a>0，[例5](1)(－3，－1)∪(3，＋∞) 由已知可得? ?a＋3>0， －1或a>3. ??a2－a>a＋3， 解得－3 ＝0， 又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增， ?log1x>0，于是??9?? flog1x>f??1??9?2? ?log1x<0，9或?? ?? flog1x>f??－1??9?2?， ?log1x>0，9?log1x<0， 9即??或??1?解得0 ? log1x>2 9 ? 3 或1 ? log1x>－1 2 ，9 [例6](1)???－1，12??? 要使函数f(x)的值域为R，需使??? 1－2a>0，? ?ln 1≤1－2a＋3a， ?1∴??a<2， ??a≥－1， ∴－1≤a<12，即a的取值范围是??? －1，12???. (2)C 当x＝1时，loga1＝0，若f(x)为R上的减函数，则(3a－1)x＋4a>0在x<1时恒成立， ?令g(x)＝(3a－1)x＋4a，则必有??3a－1<0，??3a－1<0， 解得11 ?即? ?g?1?≥0， ??3a－1＋4a≥0， 7≤a＜3 . 此时，logax是减函数，符合题意． (3)D 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2， 即a≤1或a≥4，故选D. [达标检测] 1.C f(x)的定义域为{x|x≠1}．又f(x)＝x11－x＝1－x－1，根据函数y＝－1 x的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数． 2.B ∵函数f(x)＝log1 2x＋1－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1) 当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0. 3.D 因为f(14)>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A，B.在C中，f(1 4) f(1 4 ) ，?x－8>0， 解得8 ?? －， 5.D 令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知f(t)＝log1t在其定义域上单调递减，要使f(x)＝log1 ( x2－ax＋ 3 3 3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0， 即??－－a2 ≤1， ?a≤2，所以? 即－1 ??a>－1?2，2 6. ?7?9，78?? ∵38≤f(x)≤49，∴1 3 ≤1－2f?x?≤1 .令t＝ 1－2f?x?，则f(x)＝1 12 (1－t2)??3≤t≤12 2??，令y＝g(x)，则y＝11 12(1－t2)＋t，即y＝－2(t－1)2＋1??3≤t≤12??.∴当t＝13时，y有最小值79；当t＝12时，y有最大值7?78.∴g(x)的值域为?7?9，8??? . 7.1 依题意，h(x)＝???log2x，0 ?? －x＋3，x>2. 当0 是减函数，则h(x)max＝h(2)＝1. 8.①②③ 当x∈[0,1]时，cosπ 2x∈[0,1]，①正确；当x∈[－1,0]时，x2－1∈[－1,0]，②正确；当x ∈[0,1]时，|2x－1|∈[0,1]，③正确；因为y＝log2(x－1)为单调递增函数，所以要为“同域区间”，需满足方程log2(x－1)＝x有两个根，由图象可知y＝x与y＝log2(x－1)没有交点，④错误． 2 9.解：(1)由x＋ax－2x＋a x－2>0，得x >0， a>1时，x2 －2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1},0 (2)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－ax－a x2＝x2>0恒成立， ∴g(x)＝x＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg???x＋ax－2???在[2，＋∞)上是增函数． ∴f(x)＝lg???x＋ax－2??a? 在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg2. (3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋a2 x －2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x， 而h(x)＝3x－x2 ＝－??3?x－2??29?＋4 在x∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2. ∴a>2，即a的取值范围为(2，＋∞)．
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