题组层级快练(二十五)
π
1．(2014·福建文)将函数y＝sinx的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法
2正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π
π
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
2
?π?D．y＝f(x)的图像关于点?－，0?对称 ?2?
答案 D
解析 由题意知，f(x)＝cosx，所以它是偶函数，A错；它的周期为2π，B错；它的对称轴是直线xπ??＝kπ，k∈Z，C错；它的对称中心是点?kπ＋，0?，k∈Z，D对．
2??
2．要得到函数y＝cos2x的图像，只需把函数y＝sin2x的图像( ) π
A．向左平移个单位长度
4π
C．向左平移个单位长度
2答案 A
解析 由于y＝sin2x＝cos(
πππ－2x)＝cos(2x－)＝cos[2(x－)]，因此只需把函数y＝sin2x的图224
π
B．向右平移个单位长度
4π
D．向右平移个单位长度
2
π
像向左平移个单位长度，就可以得到y＝cos2x的图像．
4
π
3．若把函数y＝f(x)的图像沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，然后再把图像上每
4个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sinx的图像，则y＝f(x)的解析式为( )
π
A．y＝sin(2x－)＋1
41π
C．y＝sin(x＋)－1
24答案 B
解析 将y＝sinx的图像上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到y＝sin2x的图像，再将所得图像向上平移1个单位，得到y＝sin2x＋1的图像，再把函数y＝sin2x＋1的图像向右平移πππ
个单位，得到y＝sin2(x－)＋1的图像，即函数f(x)的图像，所以f(x)＝sin2(x－)＋1＝sin(2x444－
π
B．y＝sin(2x－)＋1
21π
D．y＝sin(x＋)－1
22
π
)＋1，故选B. 2
1
π
4．函数y＝cos(4x＋)图像的两条相邻对称轴间的距离为( )
3A.C.π 8π 2
B.π 4
D．π
答案 B
2π
πT4π
解析 函数y＝cos(4x＋)图像的两条相邻对称轴间的距离为半个周期，即＝＝.
3224
ππ
5．将函数y＝sin(2x＋)的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个
44单位，所得到的图像解析式是( )
A．f(x)＝sinx C．f(x)＝sin4x 答案 A
ππ
解析 y＝sin(2x＋)→y＝sin(x＋)
44ππ
→y＝sin(x－＋)＝sinx.
44
π
6．(2013·山东理)将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图
8像，则φ的一个可能取值为( )
A.3π 4
B.π 4
B．f(x)＝cosx D．f(x)＝cos4x
C．0 答案 B
πD．－
4
ππ
解析 把函数y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位后，得到的图像的解析式是y＝sin(2x＋＋
84
φ)，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.
π
7.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图像如右图所
21
示，则当t＝ 秒时，电流强度是( )
100
π4π2π4
2
A．－5 A C．53 A 答案 A
B．5 A D．10 A
T411
解析 由图像知A＝10，＝－＝.
2300300100
2π
∴ω＝＝100π.∴T＝10sin(100πt＋φ)．
T(
11π，10)为五点中的第二个点，∴100π×＋φ＝. 3003002
ππ1
∴φ＝.∴I＝10sin(100πt＋)，当t＝秒时，I＝－5 A，故选A.
66100
ππ
8．(2013·福建文)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)(－<θ<)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后
22得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P(0，
A.C.5π
3π 2
B.D.5π 6π 6
3
)，则φ的值可以是( ) 2
答案 B
ππ
解析 因为函数f(x)的图像过点P，所以θ＝，所以f(x)＝sin(2x＋)．又函数f(x)的图像向右
33ππ3
平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝sin[2(x－φ)＋]的图像，所以sin(－2φ)＝，所以φ可
3325π
以为，故选B.
6
1π
9．已知函数y＝sinωx(ω>0)在一个周期内的图像如图所示，要得到函数y＝sin(x＋)的图像，
212则需将函数y＝sinωx的图像向________平移________个单位长度．
π
答案 左，
6
解析 由图像知函数y＝sinωx的周期为T＝3π－(－π)＝4π， 2π11∴ω＝＝，故y＝sinx.
T22
xπ1π
又y＝sin(＋)＝sin(x＋)，
21226
3
1πxπ
∴将函数y＝sinx的图像向左平移个单位长度，即可得到函数y＝sin(＋)的图像．
26212
ππ??10．(2014·重庆文)若将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，－≤φ
22??π?π?短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图像，则f??＝________.
6?6?
答案
2
2
π?π?解析 将y＝sinx的图像向左平移个单位长度可得y＝sin?x＋?的图像，保持纵坐标不变，横坐
6?6?
?1π??1π??π??1ππ?标变为原来的2倍可得y＝sin?x＋?的图像，故f(x)＝sin?x＋?.所以f??＝sin?×＋?＝
6?6??2?2?6??266?
π2
sin＝.
42
π
11．若y＝Asin(ωx＋θ)(A>0，ω>0，|θ|<)的图像如图所示，则y＝________.
2
π
答案 2sin(2x＋)
6
11π
解析 由题图知周期T＝π－(－)＝π，
12122π
∴ω＝＝2，且A＝2.∴y＝2sin(2x＋θ)．
π把x＝0，y＝1代入上式得2sinθ＝1， 1
即sinθ＝.
2
πππ
又|θ|<，∴θ＝.即y＝2sin(2x＋)．
266
π
12．(2013·新课标全国Ⅱ文)若函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与2π
函数y＝sin(2x＋)的图像重合，则φ＝________.
3
答案
5π 6
ππ
解析 将y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位后得到y＝cos[2(x－)＋φ]的图像，化简得y22
4
πππ5π
＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin(2x＋φ－)．由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝
22365π
＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝.
6
13.若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.
答案 3
解析 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像可知：
Tπ2π2＝(－)－(－π)＝，∴T＝π. 233332π2
∵T＝＝π，∴ω＝3.
ω3
π
14．若函数y＝sin2x的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图像恰好关于直线x＝对称，则φ6的最小值是________．
答案
5π 12
解析 y＝sin2x的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得y＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．因其中一条πππ5π
对称轴方程为x＝，则2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)．因为φ>0，所以φ的最小值为. 66212
πππ
15．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图像关于直线x＝对2212称，则在下面四个结论中：
ππππ
①图像关于点(，0)对称；②图像关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上
4366是增函数，所有正确结论的编号为________．
答案 ②④
解析 ∵y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝π
2
π3
2πππ＝2.又其图像关于直线x＝对称，得＋π126
π
3
π3
φ＝＋kπ(k∈Z)．令k＝0，得φ＝.∴y＝sin(2x＋)．当x＝时，f()＝0，∴函数图像关于点
ππππ5π(，0)对称．所以②正确．解不等式－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得－＋ 323212
π
3
kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以④正确．
π12
5
π
16．(2015·江西景德镇测试)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)＋a的最大值为2.
6(1)求实数a的值及f(x)的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f(x)在[0，π]上的图像．
答案 (1)a＝－1，T＝π (2)略
ππ
解析 (1)f(x)＝4cosx(sinxcos＋cosxsin)＋a
66π
＝3sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin(2x＋)＋a＋1，
62π
最大值为3＋a＝2，∴a＝－1.T＝＝π.
2(2)列表如下：
π2x＋ 6π 60 1 π 2π 62 π 5π 120 3π 22π 3－2 2π 11π 120 13π 6π 1 x f(x) 画图如下：
π
17.(2015·湖北重点中学联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图
2像如图所示．
(1)试确定函数f(x)的解析式；
6
α12π
(2)若f()＝，求cos(－α)的值．
2π33
答案 (1)f(x)＝2sin(πx＋
π17
) (2)－ 618
T511
解析 (1)由图像知，f(x)max＝A＝2，设函数f(x)的最小正周期为T，则＝－＝，所以T＝2，∴
4632＝
2πT＝2π
2＝π，故函数f(x)＝2sin(πx＋φ)． 又∵f(13)＝2sin(π3＋φ)＝2，∴sin(π
3＋φ)＝1.
∵|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴－π6<π3＋φ<5π6.
故
π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，∴f(x)＝2sin(πx＋π6
)． (2)∵f(α1απαπ1απ12π)＝3，即2sin(π·2π＋6)＝2sin(2＋6)＝3，∴sin(2＋6)＝6
.
∴cos(π3－α2)＝cos[π2－(παπα1
6＋2)]＝sin(6＋2)＝6
.
∴cos(2ππαα123－α)＝cos[2(3－2)]＝2cos2(π
3－2)－1＝2×(6)－1＝－1718
.
1．如图是周期为2π的三角函数y＝f(x)的图像，那么f(x)可以写成( )
A．sin(1＋x) B．sin(－1－x) C．sin(x－1) D．sin(1－x) 答案 D
解析 设y＝sin(x＋φ)，点(1,0)为五点法作图的第三个点，
∴由sin(1＋φ)＝0?1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y＝sin(x＋π－1)＝sin(1－x)． 2．要得到函数y＝sin11π
2x的图像，只需将函数y＝sin(2x－3)的图像( )
A．向左平移π
3个单位
B．向右平移π
3个单位
C．向左平移2π
3个单位
D．向右平移2π
3
个单位
答案 C
7
ω
3．为得到函数y＝cos(2x＋
π
)的图像，只需将函数y＝sin2x的图像( ) 3
5π
A．向左平移个长度单位
125π
B．向右平移个长度单位
125π
C．向左平移个长度单位
65π
D．向右平移个长度单位
6答案 A
π5π
解析 本题主要考查三角函数的平移，首先是化为同名函数．y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋)．
36ππ
4．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的周期T和初相
32
φ分别为( )
π
A．T＝6，φ＝
6π
C．T＝6π，φ＝
6答案 A
5．如图的函数的解析式为( )
π
B．T＝6，φ＝
3π
D．T＝6π，φ＝
3
π??A．y＝2sin?2x－? 8??π??B．y＝2sin?2x＋? 8??π??C．y＝2sin?2x＋? 4??π??D．y＝2sin?2x－? 4??答案 C
7π?π?π
解析 A＝2，T＝－?－?＝π，ω＝2，当x＝－时，y＝0.
88?8?
π
6．将函数y＝sin(－2x)的图像向右平移个单位，所得函数图像的解析式为________．
3
8
2
答案 y＝sin(π－2x)
3
7.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<ππ)，y＝f(x)的部分图像如图所示，则f()＝2________.
答案
3
解析 由图像知T2＝38π－π8＝π4，T＝π2，ω＝πππT＝2,2×8＋φ＝2＋kπ，又|φ|<ππ
2，∴φ＝4
.
∵函数f(x)的图像过点(0,1)，∴f(0)＝Atanπ
4＝A＝1.
∴f(x)＝tan(2x＋π
4
)．
∴f(ππππ
24)＝tan(2×24＋4)＝tan3
＝3.
24
＝π
4
＋kπ，k∈Z.
9
φ
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