17 直线方程与圆的方程
1.已知三点A(1,-2),B(a,-1),C(-b, 0)共线,则
+ (a>0,b>0)的最小值为( ).
A.11 B.10 C.6 D.4 解析? 由题意知,kAB=kBC,所以2a+b=1,所以
+ =3+ + =3+ (2a+b)=3+4+ +≥7+2 =11,当且仅当a= ,b= 时等号成立,故选A. 答案? A
2.圆(x-2)+y=4关于直线y=x对称的圆的方程是( ).
A.(x- )+(y-1)=4 B.(x- )+(y- )=4 C.x+(y-2)=4 D.(x-1)+(y- )=4
所以 解析? 设所求圆的圆心为(a,b),则 所以所求圆的方程为
- - 2
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(x-1)+(y- )=4,故选D.
答案? D
3.若圆x+y+4x-2y-a=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2,则实数a=( ).
A.±2 B.-2
C.±4 D.4
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解析? 圆的标准方程为(x+2)+(y-1)=5+a,则圆心坐标为(-2,1),半径r= . 所以圆心到直线x+y+5=0的距离为2
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- =2 .
由1+(2 )=5+a,得a=±2,故选A. 答案? A
4.已知AB为圆C:x+y-2y=0的直径,点P为直线y=x-1上任意一点,则|PA|+|PB|的最小值为 .
解析? 圆心C(0,1),设∠PCA=α,|PC|=m,则|PA|=m+1-2mcos α,|PB|=m+1-2mcos(π-α)=m+1+2mcos α,∴ PA +|PB|=2m+2.
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1
又点C到直线y=x-1的距离d=2( )+2=6.
答案? 6
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- - = ,即m的最小值为 ,∴ PA 2+|PB|2的最小值为
能力1 ? 会用直线方程判断两条直线的位置关系
【例1】 已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(m+5)y=8,则“l1∥l2”是“m<- ”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析? 若l1∥l2,则(3+m)(5+m)=4×2,解得m=-1或m=-7,经检验,当m=-1时,l1与l2重合,∴m=-7,故“l1∥l2”是“m<- ”的充分不必要条件,故选A.
答案? A
(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一
般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
设a∈R 则“a= ”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2
解析? 若两条直线平行,则=≠,解得a=1,且a≠-1,所以a=1,即“a= ”是“直线
-
2
ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的充要条件,故选C.
答案? C
能力2 ? 会结合平面几何知识求圆的方程
【例2】 若圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是( ). A.x+y+10y=0 B.x+y-10y=0 C.x+y+10x=0
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D.x+y-10x=0
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解析? 设圆心为(0,b),半径为r,则r=|b|,故圆的方程为x+(y-b)=b.
∵点(3,1)在圆上,∴9+(1-b)2=b2,解得b=5. ∴圆的方程为x2+y2-10y=0,故选B.
答案? B
确定圆心位置的方法:(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂
线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
点P(4,-2)与圆x+y=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ). A.(x-2)+(y+1)=1 B.(x-2)+(y+1)=4 C.(x+4)+(y-2)=4 D.(x+2)+(y-1)=1
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解析? 设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则
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-
- 解得
.
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因为点Q在圆x+y=4上,所以 + =4,即(2x-4)+(2y+2)=4,化简得(x-2)+(y+1)=1,故选
A.
答案? A
能力3 ? 会用几何法求直线与圆中的弦长问题
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