第30课时 用二分法求方程的近似解（2）
【教学目标】1．使学生进一步理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，能灵活地使用二分法求某些方程的近似解
2．通过本节内容的学习，进一步培养学生的运算能力，数形结合，化归转
化分类讨论等意识．
【学习指导】用二分法求函数f(x)零点的步骤是：
第一步：确定区间[a，b]，并验证f(a)·f(b)＜0，同时给定精确度?； 第二步：求区间(a，b)的中点x1； 第三步：计算f(x1)；
（1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
（2）若f(a)·f(x1)＜0，则令b=x1（此时零点x0∈(a，x1)）； （3）若f(a)·f(x1)＞0，则令a=x1（此时零点x0∈(x1，b)）．
第四步：判断是否达到精确度?：即若|a-b|＜?，则得到零点近似值a或b；否则重复第二步~第四步．
本节的重点是通过一些例题的分析与解决进一步培养学生的运算能力，数形结合，化归转化等意识，以提高学生的数学涵养． 难点是有些题目的计算比较烦，一定要让学生耐心去算．
【例题精析】
例1．书本P80 例3，例5．
书本上的这两道题体现的方法比较好，要让学生掌握．
例2．求方程x3－9x2－11x＋10＝0的一个实数解，精确到0.01．
【分析】二分法求方程实数解的思想是非常简明的，但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是比较长的，有些计算不用工具甚至无法实施，这就需要借助于科学计算器．
【解法】经检验，f(0)＝10＞0，f(1)＝－9＜0，所以函数f(x)＝x3－9x2－11x＋10在［0，1］内有解．
如上下去，得到方程x3－9x2－11x＋10＝0实数解所在区间的下表． 左端点 右端点 第1次 0 1 第2次 0.5 1 第3次 0.5 0.75 第4次 0.5625 0.625 第5次 0.59375 0.625 第6次 0.609376 0.625 第7次 0.6171876 0.625 第8次 0.6171876 0.62109375 至此，可以看出，区间［0.6171876 0.62109375］内的所有值，若精确到0.01，都是0.62，所以0.62是方程x3－9x2－11x＋10＝0精确以0.01的实数解．
【评注】选好初定区间是使用二分法求近似解的前提条件， 而耐心的计算又是最终解决问题的关键，培养学生的运算能力是老师非常重要的任务．
x-2例3．已知函数f(x)＝ax＋（a＞1）
x?1⑴证明：f(x)在（－1，＋∞）上增函数； ⑵证明：f(x)＝0没有负数根；
⑶若a＝3，求方程f(x)＝0的根（精确到0.1）
【分析】二分法是一种重要的计算方法，在求方程的根、函数的零点以及现实生活中却有十分重要的应用，也是高考的热点内容．
【解法】（1）f(x)＝ax＋1－（a＞1）
3∵函数y＝ax（a＞1），y＝1－在（－1，＋∞）均为增函数，
x?13∴f(x)＝ax＋1－（a＞1）在（－1，＋∞）为增函数．
x?1∴f(x)在（－1，＋∞）上为增函数．
3 ⑵当x?（－∞，－1）时，恒小于0．
x?1故当x?（－∞，－1）时，f(x)恒大于零． ∴f(x)＝0在（－∞，－1）上没有实根．
当x?（－1，0）时，∵f(x)在（－1，0］上为增函数，计算f(0)＝－1＜0 故对任意x?（－1，0］均有f(x)＜0 , ∴方程f(x)＝0没有负数根．
x-2 x?1计算f(0)＝－1＜0，f(1)＝2.5＞0
根据解的存在性定理可知f(x)＝0在（0,1）上有实根． 利用二分法即可求得它的一个根为0．3
【评注】本题欲证函数的单调性常有两种方法，一是定义法，二是利用复合函数单调性，对于本题而言，利用复合函数单调性来说明显得简单．对于方程的根的探讨常常借助于解的存在性定理来判别．
⑶若a＝3，则f(x)＝3x＋
例4．已知关于x的方程ax2?bx?c?0，其中2a?3b?6c?0． ⑴ 当a=0时，求方程的根；
⑵ 当a>0时，求证：方程有一根在0和1之间． 【分析】可以利用解的存在性定理来进行证明． 【解法】⑴ a?0时，3b?6c?0 ，∴ b??2c，
c1
方程为 bx?c?0 ∴ x?? 从而可得 x? ．
b2
⑵ a?0时，
24443??b2?4ac?(a?2c)2?4ac?a2?ac?4c2?(a?c)2?3c2?0
39392方程ax2?bx?c?0有两个根．
① c?0时，f(0)?c?0,f(1)?a?b?c，由2a?3b?6c?0得
221b??a?2c，∴ f(1)?a?a?2c?c?a?c?0.
333∴ f(0)?f(1)?0 ，故 f(x)?0 有一根在（0，1）内．
1112② c?0时，f()?a?b?c ，∵ b??a?2c，
2423112a5a?2c?c???c， ∴ f()?a?243121∵ a?0 ，c?0 ∴ f()?0，
211∴ f(0)?f()?0，故 f(x)?0 有一根在（0，）内．
22由 ①，② 可知 ax2?bx?c?0 有一根在（0，1）内．
【评注】分类讨论是高中数学里一十分重要的思想方法，本题中由于无法确定c的
1符号，故必须对c进行讨论，并且当c?0时是证明了f(0)?f()?0，而不是证明
2f(0)?f(1)?0，这一点要予以注意．
【本课练习】
1．方程x5-5x2-lgx=0在区间（1，10）内的实数解的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知函数f(x)=ex+x3-2x，则在下列区间中，f(x)必有零点的为 （ ） A．（-4，-3） B．（-3，-2） C．（-2，-1） D．（-1，0）
3．方程2x3-4x2-3x= -3在区间（0，1）内的近似解为 （精确到0.01）．
4．方程x7+7x+7=0有多少个实数解？怎样证明？如果方程有解，请用二分法求出它的近似值（精确到0.1）．
5．指出方程lgx+x=0存在实数解,并给出一个实数解存在的一个区间.（要求区间长度小
于1） 6．若方程7x2?(k?13)x?k2?k?2?0的两根分别在（0，1）和（1，2）内，求k取值范围．
7．已知二次函数f(x)?ax2?bx?c．
⑴ 若a>b>c且f(1)=0 ，证明：f(x)的图象与x轴相交． ⑵ 证明：若对x1,x2?R且x1?x2,f(x1)?f(x2)，则方程f(x)?一实根在区间(x1,x2)内．
附答案 1．C 2．C 3．0.63 4．利用函数的单调性可证明方程最多只有一解，而又由特殊值知f(-1)·f(0)＜0，于是由根的存在定理知，方程只有唯一的实根，利用二分
f(x1)?f(x2)必有
2法可得方程的近似值为-0.92．
5 令函数f(x)=lgx，g(x)= -x．在同一直角坐标系内作出它们的图象如图所示．
由图可知，两图象存在唯一的一个交点A，于是点A的横坐标就是方程lgx+x=0的实数解．
由图易知，点A的横坐标小于0.5，且大于0.1，故实数
y f(x)=lgx 解存在的一个区间可以是(0.1，0.5)．
事实上，令?(x)=lgx+x，则
O x 1 ?(0.1)=lg0.1+0.1= -0.9＜0， A ?(0.5)=lg0.5+0.5≈0.2＞0，
g(x)= -x ∴?(0.1)·?(0.5)＜0．
又?(x)的图象是连续不断的，故方程在(0.1，0.5)内必有实数解． 6．k?(?2,?1)?(3,4)
7．⑴ ∵ f(1)=a+b+c=0 且a>b>c ∴ a>0且c<0 ∴ ??b2?4ac?0∴ f(x)的图象与x轴相交．⑵ 设g(x)?f(x)?f(x1)?f(x2) 则g(x)为二次函数，
21∴ g(x1)g(x2)??(f(x1)?f(x2))2?0，∴ g(x)=0有一实根在区间(x1,x2)内．从
4而命题得证．
【教学建议】本节习题里出现了根的分布问题，故教学中在前面研究了根的分布问题的基础上进一步讨论了和根的分布有关的问题，另外在教学中要注意对学生的运算能力的培养和训练．
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