推理与证明
一、核心知识 1.合情推理
（1）归纳推理的定义： 从个别事实 中推演出一般性 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体 ，由个别到一般 的推理。
（2）类比推理的定义： 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理
(1)定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论
“三段论”可以表示为：①大前题：M 是 P②小前提：S 是 M ③结论：S 是 P。 其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个 特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接 推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
（1）综合法就是 “由因导果” ， 从已知条件出发， 不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者 一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法
（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确 ，即所求证命题正确。 （3）反证法的思维方法:正难则反
5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 (1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；
1
(2)假设当 n=k (k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 二、典型例题 例1. 已知f(x?1)?A.f(x)?2f(x),f(1)?1 ，猜想f(x）的表达式为（ ） （x?N*）f(x)?24212； B.； C.； D.. f(x)?f(x)?f(x)?2x?2x?1x?12x?111135例2. 已知f(n)?1???L?(n?N*)，计算得f(2)?，f(4)?2，f(8)?，f(16)?3，
2223nf(32)?7，由此推测：当n?2时，有 233例3. 已知：sin230??sin290??sin2150??； sin25??sin265??sin2125?? 22通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： ________________________________________=
23（ * ）并给出（ * ）式的证明. 236例4．若a,b,c均为实数，且a?x2?2y??,b?y2?2z??,c?z2?2x??。 求证：a,b,c中至少有一个大于0。
例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=
三、课后练习
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( ) ?a1＝1，A.?*
?an＋1＝an＋n(n∈N)
（n∈N*）
?a1＝1，
B.?*
?an＝an－1＋n(n∈N，n≥2)
?a1＝1，C.?*
?an＋1＝an＋(n－1)(n∈N)
?a1＝1，
D.?*
?an＝an－1＋(n－1)(n∈N，n≥2)
2
2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝边应取的项是( )
(n＋3)(n＋4)
(n∈N*)时，验证n＝1，左
2
A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 111
3．已知f(n)＝＋＋＋…＋2，则( )
nn＋1n＋2n11
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
23111
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
23411
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ 23111
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 2344．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0
5．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( ) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a、b大小不定 6．若
sinA1
a＝cosBb＝cosCc，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．有一个内角是30°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个内角是30°的等腰三角形 7.观察式子：1?A、1?C、1?122122122???31151117,1?2?2?,1?2?2?2?23423234，…，则可归纳出式子为（ ） ??132132????1n21n211111 B、1?2?2??2? 2n?12n?123n2n?11112n D、1?2?2??2? n2n?123n'8.设f0(x)?cosx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1'(x),L,fn?1(x)?fn'(x)，n∈N，则f2008(x)? 9.函数f(x)由下表定义：
3
x f(x) 2 5 3 3 1 4 1 2 4 5
若a0?5，an?1?f(an)，n?0,1,2,L，则a2007? ． 10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为_____．
11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）4n?8 12. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：
113??a?bb?ca?b?c。 13.用分析法证明：若a>0，则
14.?ABC中，已知3b?23asinB，且cosA?cosC，求证：?ABC为等边三角形。
1
15．已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1. 求证：a2＋b2＋c2≥.
3
4
a2?1a2?2?a?1?2。 a
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