【最新】数学《空间向量与立体几何》高考知识点
一、选择题
1．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A．2对 C．4对 【答案】C 【解析】 【分析】
B．3对 D．5对
画出该几何体的直观图P?ABCD，易证平面PAD?平面ABCD，平面PCD?平面
PAD，平面PAB?平面PAD，平面PAB?平面PCD，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD?平面ABCD， 作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD， 又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD， 所以平面PCD?平面PAD， 同理可证：平面PAB?平面PAD，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD， 所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB?平面PCD， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
AB2．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3,AA1?1,而对角线1上存
在一点P，使得AP?D1P取得最小值，则此最小值为（ ）
A．7 【答案】A 【解析】 【分析】
B．3 C．1+3 D．2
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1并求出，就 是最小值． 【详解】
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1．MD1就是|AP|?|D1P|的最小值，
Q|AB|?|AD|?3，|AA1|?1，?tan?AA1B?3?3,??AA1B?600．
1ooo所以?MA1D1=90+60=150
?MD1?A1D12?A1M2?2A1D1?A1Mcos?MA1D1?1?3?2?2?3?(?3)?7 2
故选A． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
3．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面．．
A1B1C1D1上，且AP?平面MBD1.线段AP长度的取值范围为( )
A．?1,2?
???B．??1,3?
C．??3?,2? ?2?D．??6?,2? ?2?【答案】D 【解析】 【分析】
以DA,DC,DD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系，设P?x,y,1?，M?0,1,t?，由AP?平面MBD1，可得?【详解】
以DA,DC,DD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系， 则A?1,0,0?,B?1,1,0?,M?0,1,t?,D1?0,0,1?，P?x,y,1?.
?x?t+1，然后用空间两点间的距离公式求解即可.
y?1?t?uuuruuuuruuuurAP??x?1,y,1?,BD1???1,?1,1?,BM???1,0,t?，t??0,1?
uuuuruuuruuuuruuurMBD由AP?平面1，则BM?AP?0且BD1?AP?0
所以1?x?t?0且1?x?y?1?0得x?t+1，y?1?t.
uuur所以AP?1?3t??x?1??y2?1?2???? ?2?222uuuruuur16?2， 当t?时，AP，当t?0或t?1时，AP?maxmin22r6uuu所以?AP?2 2故选：D
【点睛】
本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简单些，属于中档题.
4．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为AB，AA1的中点，则异面直线
C1M与BN所成角的大小为（ ）
A．30° 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解 【详解】 如图：
B．45?
C．60?
D．90?
作AN的中点N'，连接N'M，C1N'由题设可知N'MPBN，则异面直线C1M与BN所成角为?N'MC1或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，N'M?5 ，
C1M?6，C1N'?41，得C1N'?N'M?C1M，即?N'MC1?90?
222故选D 【点睛】
本题考查异面直线的求法，属于基础题
5．设?为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A．若a//?，b//?，则a//b C．若a??，a?b，则b//? 【答案】B 【解析】 【分析】
rrB．若a??，a//b，则b?? D．若a//?，a?b，则b??
rr利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解． 【详解】
若a//?，b//?，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
若a??，a//b，则由直线与平面垂直的判定定理知b??，故B正确； 若a??，a?b，则b//?或b??，故C错误；
rrrr若a//?，a?b，则b//?，或b??，或b与?相交，故D错误．
故选：B． 【点睛】
本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
6．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?4，AC?BC，CC1?5，D、E分别是AB、B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（ ）
A．
3 3B．
1 3C．
58 29D．
387 29【答案】C 【解析】 【分析】
取A1C1的中点F，连接DF、EF、CF，推导出四边形BDFE为平行四边形，可得出
BE//DF，可得出异面直线BE与CD所成的角为?CDF，通过解VCDF，利用余弦定理可求得异面直线BE与CD所成的角的余弦值.
【详解】
取A1C1的中点F，连接DF、EF、CF.
易知EF是△A1B1C1的中位线，所以EF//A1B1且EF?1A1B1. 21A1B1，所以2又AB//A1B1且AB?A1B1，D为AB的中点，所以BD//A1B1且BD?EF//BD且EF?BD.
所以四边形BDFE是平行四边形，所以DF//BE，所以?CDF就是异面直线BE与CD所成的角.
因为AC?BC?4，AC?BC，CC1?5，D、E、F分别是AB、B1C1、A1C1的中点， 所以C1F?11AC?2BE?B1C1?2且CD?AB. ，111224?4?42，所以CD?22由勾股定理得AB?AC?BC4?4??22. AB42由勾股定理得CF?CC12?C1F2?52?22?29，DF?BE?BB12?B1E2?52?22?29.
在VCDF中，由余弦定理得cos?CDF?故选：C. 【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
?29??2?22??2?29?22?29?22?58.
29
7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A．130 【答案】D 【解析】
B．140
C．150
D．160
?9,BD1?15， 设直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，对角线AC1 因为A1A?平面ABCD,ACì,平面ABCD，所以A1A?AC， 在Rt?A1AC中，A1A?5，可得AC? 同理可得BD?2AC?A1A2?56, 1D1B2?D1D2?200?102，
因为四边形ABCD为菱形，可得AC,BD互相垂直平分， 所以AB?11(AC)2?(BD)2?14?50?8，即菱形ABCD的边长为8， 22 因此，这个棱柱的侧面积为S?(AB?BC?CD?DA)?AA1?4?8?5?160， 故选D.
点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.
8．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A点为长方体的一个顶点，B点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A点到B点的最短距离为（ ）
A．29 【答案】C 【解析】 【分析】
B．35 C．41 D．213 由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B点所在的棱长为2；②当B点所在的棱长为4；③当B点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB的距离即可得最短距离. 【详解】
由长方体的侧面展开图可得：
（1）当B点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A到B的距离可能为
?4?6?2?12?101；?4?1?2?62?61；42??6?1??65.
2（2）当B点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A到B的距离可能为
?2?2??2?3?2?62?213；?2?6??2?4?22?22?217；22??6?2??217.
2（3）当B点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A到B的距离可能为
2?42?41；?32?35；22??3?4??53.
2综上所述，沿着长方体的表面从A点到B点的最短距离为41. 故选：C. 【点睛】
本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.
9．已知m，l是两条不同的直线，?，?是两个不同的平面，则下列可以推出???的是（ ）
A．m?l，m??，l?? C．m//l，m??，l?? 【答案】D 【解析】 【分析】
A，有可能出现?，?平行这种情况.B，会出现平面?，?相交但不垂直的情况.C，根据面面平行的性质定理判断.D，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】
对于A，m?l，m??，l??，则?//?或?，?相交，故A错误； 对于B，会出现平面?，?相交但不垂直的情况，故B错误；
对于C，因为m//l，m??，则l??，由因为l????∥?，故C错误； 对于D，l??，m∥l?m??，又由m∥?????，故D正确. 故选：D 【点睛】
B．m?l，?I??l，m?? D．l??，m//l，m//?
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
10．如下图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E、F、O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连接A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为?，则
sin?的最大值为（ ）．
A．
2 2B．25 5C．
26 5D．
26 6【答案】B 【解析】 【分析】
连接EF，可证平行四边形EFGH为截面，由题意可找到A1M与平面A1B1C1D1所成的角，进而得到sinα的最大值. 【详解】
连接EF，因为EF//面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH//BC交CD于点G,交AB于H点，则GH//EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱A1B1EHA?D1C1FGD为V1，三棱柱EBH-FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N,则?MA1N即为
A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以?MA1N=α，因为sinα=
MN,要使α的正弦最大，A1M必须MN最大，A1M最小，当点M与点H重合时符合题意，故sinα的最大值为
MNHN25==, A1MA1H5故选B
【点睛】
本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.
11．设A，B，C，D是同一个球面上四点，?ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D?ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ） A．36? 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥D?ABC的外接球的半径，代入表面积公式求解． 【详解】 解：如图，
B．64π
C．100?
D．144?
?ABC是斜边BC长为6的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥D?ABC体积取最大值为27，
由AB?AC，AB?AC，BC?6，可得斜边BC上的高AE?3，AB?AC?32， 由?11?32?32?DE?27，解得DE?9， 32AE2则EF??1．
DE∴球O的直径为DE?EF?10， 则球O的半径为
1?10?5． 2∴该球的表面积为S?4??52?100?． 故选C．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1B1的中点，则AD与平面
BCC1B1所成角的正弦值为（ ）
A．5 5B．25 5C．10 10D．15 10【答案】D 【解析】 【分析】
先找出直线AD与平面BCC1B1所成角，然后在VB1EF中，求出sin?EB1F，即可得到本题答案. 【详解】
如图，取AB中点E，作EF?BC于F，
连接B1E,B1F，则?EB1F即为AD与平面BCC1B1所成角. 不妨设棱长为4，则BF?1,BE?2，
?EF?3,B1E?25 ?sin?EB1F?故选：D 【点睛】
315. ?2510本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.
13．设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，则（ ） A．?＜?，???＞
【答案】C
?2 B．?＜?，???＜?2
C．?＞?，???＞?2D．?＞?，???＜?2
【解析】 【分析】
由最小角定理得???，由已知条件得AB?平面VAC，过A作AN?VC，连结BN，得???BNA，推导出???BVA，由VA?平面ABC，得???VMA，推导出
???MVA，从而????【详解】
?2，即可得解.
由三棱锥V?ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，
VA?平面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），
记VM与AB所成角为?，VM与底面ABC所成角为?，二面角A?VC?B为?，
由最小角定理得???，排除A和B； 由已知条件得AB?平面VAC，
过A作AN?VC，连结BN，得???BNA， ∴tan??tan?BNA?而tan?BVA?AB， ANAB，AN?AV，∴tan?BNA?tan?BVA， AV∴???BVA，
∵VA?平面ABC，∴???VMA， ∴???MVA??2AM∵tan?MVA?，AB?AM，∴tan?BVA?tan?MVA，
AV∴???MVA，∴????故选：C．
，
?2．
【点睛】
本题查了线线角、线面角、二面角的关系与求解，考查了空间思维能力，属于中档题.
14．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A．22 【答案】B 【解析】
B．23 C．4 D．26 解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P?ABC ， 其中面积最大的面为：SVPAC?本题选择B选项.
1?23?2?23 . 2
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
15．已知直三棱柱ABC?A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和3，此
三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为 A．
32? 3B．
16? 3C．
8? 3D．
64? 3【答案】A 【解析】 【分析】
求得该直三棱柱的底面外接圆直径为2r?12?(3)2?2，再根据球的性质，求得外接球的直径R?2，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】
由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为2r?12?(3)2?2?r?1， 根据球的性质，可得外接球的直径为2R?(2r)2?h2?22?(23)2?4，解得
R?2，
所以该三棱柱的外接球的体积为V?【点睛】
本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的性质的应用，其中解答中找出合适的模型，合理利用球的性质求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
4332??R?，故选A. 33
16．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A．
15? 2B．12? C．
11? 2D．
21? 2【答案】A 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体为由和圆锥的体积公式求解即可. 【详解】
由三视图可知，该几何体为由
11的球体和的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球8411的球体和的圆锥体组成， 84所以所求几何体的体积为V?V球+V圆锥， 因为V球=???3=181418148339?， 21111V圆锥=???r2h????32?4?3?， 44312所以V?故选：A 【点睛】
本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
915?15???3??. ，即所求几何体的体积为222
17．在空间中,下列命题为真命题的是( ). A．对于直线a,b,c,若a?c,b?c则a//b
B．对任意直线a,在平面?中必存在一条直线b与之垂直 C．若直线a,b与平面?所成的角相等,则a∥b D．若直线a,b与平面?所成的角互余,则a⊥b 【答案】B 【解析】 【分析】
通过空间直线与直线的位置关系判断选项的正误即可。 【详解】
若a?c,b?c则a与b可能平行，相交，异面，所以，A假；
若直线在平面内,则在平面内必可作出其垂线，若直线在平面外，作出直线在平面内的射影，在平面内只要作射影的垂线即可垂直于此直线，B真；
设当a、b与平面?所成的角都为45°，则a//b，a?b都有可能，C、D均为假，故选：B。 【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中等题。
rr
18．在空间中，下列命题正确的是
A．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等
???B．两条异面直线所成的有的范围是?0,?
?2?C．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 【答案】C
【解析】 【分析】
根据两个角可能互补判断A；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D. 【详解】
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B不正确； 根据两个平面平行的性质定理知C正确；
如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D不正确,综上可知只有C的说法是正确的,故选C. 【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，本题是一个概念辨析问题.
19．由两个
1圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 4
A．
π 3B．
π 2C．π
D．2π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。 【详解】
由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2，
1??12?2??， 2故答案选C。 【点睛】
则V?本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。
20．设?,?是两个不同的平面，l,m是两条不同的直线，且l??，m??，则（ ） A．若?//?，则l//m
B．若m//a，则?//?
C．若m??，则??? 【答案】C 【解析】 【分析】
D．若???，则l//m
根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】
A. 若?//?，则l与m可能平行，可能异面，所以A不正确. B. 若m//a，则?与?可能平行，可能相交，所以B不正确.
C. 若m??，由m??，根据面面垂直的判定定理可得???，所以C正确. D若???，且l??，m??，则l与m可能平行，可能异面，可能相交, 所以D不正确. 【点睛】
本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.
相关推荐：
loading