电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤曹伟)第3章习题测验解答

?U0???2πa?An??I0??l????0?由此可得

n?2

n?2?2π??I0??2πzl????U0sin

2πal??I0???l?3.25 如题3.25图所示横截面为扇形的柱形空间，场沿轴线方向不变。已知

???0??????0，?电位分布。 解：定解问题为

??a??U0，???b?U0，试求此扇形区域内的

?2??0???0??????0???a??U0 k?k? ???b?U0。

2?0，则问题的通解可以选为 解法一：由于问题解与z无关，则kz?(?,?)?(A1???B1?由???0)(C1sink???D1cosk??)

?k??0得到D1?0，则

?(?,?)?(A1???B1?由?????0得到sink???0，即

k)sink??

k??于是有

nπ?，n?1,2,?

?(?,?)??(An???Bn?n?1?nπ?nπ?)sinnπ??

由???a??U0和 ????b?U0分别得到下列

nπnπnπnπ???????nπ?nπ?????Aa?Basin??UAb?Bbsin?U0 ??????nn0nn??????n?1?n?1???利用正弦函数的正交性可以得到系数An和Bn。

解法二：根据场的叠加性，可设???1??2，其中的?1和?2满足的定解问题分别为

?2?1?0和

?1??0??1????0?1??a?0 ?1??b?U0

?2?2?0?2??0??2????0?2??a??U0 ?2??b?0

?1的通解可以选为

?1(?,?)?(A1sinhk???B1coshk??)(C1sink???D1cosk??)

由?1??0?0得到D1?0，则

?(?,?)?(A1sinhk???B1coshk??)sink??

由?1????0得到sink???0，即

k??于是有

nπ?，n?1,2,?

?1(?,?)??(A1sinhn?1?nπ???B1coshnπ??)sinnπ??

由?1??a?0得到B1?0，即

?1(?,?)??Ensinhn?1?nπ??sinnπ??

最后利用三角函数的正交性，由???b?U0得到

n?1,3,5,?1(?,?)?类似地，可以得到

?4U0nπsinhnπasinhnπ??sinnπ??

??2(?,?)??即

n?1,3,5,?nπ?b???4U0nπ? sinhsinnπ?b?a???nπsinh????1??2?n?1,3,5,?4U0nπsinhnπasinhnπ??sinnπ???n?1,3,5,??nπ?b???4U0nπ? sinhsinnπ?b?a???nπsinh?3.34如题3.34图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d处有一个点电荷q0，利用镜像法求导体以外的电位分布。 解：由导体平面和导体球面的镜像法可知，为了满足所有的边界 条件，需

要有三个镜像电荷q1??q0，q2??aa它们分别位于q0和q3??q0。

dd?a2??a2??0,0,?d?，?0,0,?和?0,0,??。于是所要求的电位分布为

d??d?????0??1??2??3q0?11a1a1?

??????4π?0?R0R1dR2dR3?其中

R0?x2?y2??z?d??r2?d2?2rdcos?R1?x2?y2??z?d??r2?d2?2rdcos?R2?x?y??z?ad??r?ad?2r?ad?cos?2222222222

R3?x2?y2??z?a2d??r2?a2d2?2r?a2d?cos?2