圆解答题精选练习（答案）

而CD=DF， ∴AC?AF=DF?FE

19. （2010湖北孝感，23，10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是?AB上任一点（点P不与点A、B重合）.连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M. （1）填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；（2分） （2）求证：△ACM∽△BCP；（4分）

（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积. （4分）

【答案】解：（1）60,60；

（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60. ∴∠M=180°－∠BPM=180－（∠APC+∠BPC）=180°－120°=60°. ∴∠M=∠BPC=60°.

（3）∵ACM≌BCP，∴CM=CP，AM=BP. 又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形. ∴CM=CP=PM=1+2=3. 作PH⊥CM于H.

在Rt△PMH中，∠MPH=30°. ∴PH=323. 121232154∴S梯形PBCM=

(PB?CM)?PH?(2?3)?3?3. 20. （2011湖北宜昌，21，8分）如图D是△ABC 的边BC 的中点，过AD 延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB 的延长线相交于点F，点0 在AD 上，AO = CO，BC//EF. (1)证明:AB=AC；

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(2)证明:点0 是AABC 的外接圆的圆心；

(3)当AB=5,BC=6时，连接BE若∠ABE=90°，求AE的长.

（第21题图）

【答案】解:(1)∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC．(1分)在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．(或者：又∵BD＝CD，∴AE是BC的中垂线．) (2分)∴AB＝AC． (3分)

(2)连BO，∵AD是BC的中垂线，∴BO＝CO．(或者：证全等也可得到BO＝CO．)又AO＝CO，∴AO＝BO＝CO．(4分)∴点O是△ABC外接圆的圆心． (5分)

（3）解法1：∵∠ABE＝∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，∴∠ABD=∠

ABADAEB． 又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB．∴（6分）在Rt△ABD中，∵?AEAB25AB=5，BD=1，2BC=3，∴AD=4．（7分）∴AE= (8分)解法2：∵AO＝

4BO， ∴∠ABO＝∠BAO．∵∠ABE＝90°，∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠AEB＝90°．∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE．(6分)在 Rt△ABD中，∵AB=5，BD=1，

252BC=3，∴AD=4． 设 OB＝x， 则 OD＝4－x，由32+（4-x)2=x2,解得x=(7分)

825∴AE＝2OB＝

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