课时作业17 高考解答题鉴赏——函数与导数
1.(2017·兰州模拟)已知函数f(x)=e-ax(a∈R,e为自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a=1,函数g(x)=(x-m)f(x)-e+x+x在(2,+∞)上为增函数,求实数m的取值范围.
解:(1)函数f(x)的定义域为R,f′(x)=e-a. 当a≤0时,f′(x)>0, ∴f(x)在R上为增函数;
当a>0时,由f′(x)=0得x=lna. 则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0, ∴函数f(x)在(-∞,lna)上为减函数, 当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0, ∴函数f(x)在(lna,+∞)上为增函数.
(2)当a=1时,g(x)=(x-m)(e-x)-e+x+x, ∵g(x)在(2,+∞)上为增函数,
∴g′(x)=xe-me+m+1≥0在(2,+∞)上恒成立, 即m≤
xxxx2
xx2
xxex+1
e-1
xx在(2,+∞)上恒成立, ,x∈(2,+∞),
xxx令h(x)=
xex+1
e-1e
xxh′(x)=
-xe-2ee
=x2
e-1
2
e-x-2
. x2
e-1
xxx令L(x)=e-x-2,L′(x)=e-1>0在(2,+∞)上恒成立,即L(x)=e-x-2在(2,+∞)上为增函数,即L(x)>L(2)=e-4>0,∴h′(x)>0.
2e+12e+1
即h(x)=x在(2,+∞)上为增函数,∴h(x)>h(2)=2,∴m≤2. e-1e-1e-12e+1??所以实数m的取值范围是?-∞,2.
e-1???
2.已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,x∈(0,e](其中e是自然对数的底数). (1)当a=2时,求f(x)的单调区间和极值; (2)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值.
2
2
xex+1
22
12x-1
解:(1)当a=2时,f(x)=2x-lnx,对f(x)求导,得f′(x)=2-=.
xx?1??1?所以f(x)的单调递减区间是?0,?,单调递增区间是?,e?.
?2??2??1?由此可知f(x)的极小值为f??=1+ln2,没有极大值. ?2?
(2)记g(a)为函数f(x)在区间(0,e]上的最小值. 1ax-1
f′(x)=a-=.
xx当a≤0时,f′(x)<0,所以f(x)在区间(0,e]上单调递减,则g(a)=f(e)=ae-1; 1
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