1.已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n＋1(n∈N). (1)若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d； (2)证明{an}不可能是等比数列；
(3)若a1＝－1，是否存在实数k和b使得数列{an＋kn＋b}是等比数列？若存在，求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由.
解：(1)由题意知，a2＝2a1＋2，a3＝2a2＋3＝4a1＋7.
因为{an}是等差数列，所以2a2＝a1＋a3，所以a1＝－3，a2＝－4，所以公差d＝－1. (2)证明：假设{an}是等比数列，则a2＝a1a3，即(2a1＋2)＝a1(4a1＋7)， 解得a1＝－4，从而a2＝－6，a3＝－9.
又a4＝2a3＋4＝－14，所以a2，a3，a4不成等比数列，这与假设矛盾. 故{an}不可能是等比数列.
(3)假设存在满足条件的k，b，则对任意n∈N有2an＋n＋1＋kn＋1＋b＝
an＋kn＋b2an＋k＋1n＋k＋b＋1
恒为常数，则
an＋kn＋b??k＋1＝2k???k＋b＋1＝2b*
2
2
*
an＋1＋kn＋1＋b＝
an＋kn＋b
??k＝1，，解得?
??b＝2.
所以数列{an＋n＋2}是首项为a1＋1＋2＝－1＋1＋2＝2，公比为2的等比数列， 从而an＋n＋2＝2，故an＝2－n－2. 2.设数列{an}的前n项和为Sn，如果nnSn为常数，则称数列{an}为“幸福数列”. S2n(1)等差数列{bn}的首项为1，公差不为零，若{bn}为“幸福数列”，求{bn}的通项公式； (2)数列{cn}的各项都是正数，其前n项和为Sn，若c1＋c2＋c3＋…＋cn＝Sn对任意的n∈N都成立，试推断数列{cn}是否为“幸福数列”？并说明理由.
解：(1)设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，前n项和为Tn，则
*
3
3
3
3
2
Tn＝k，因为b1＝1. T2n11
则n＋n(n－1)d＝k[2n＋·2n(2n－1)d]，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d.
22整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因为对任意正整数n上式恒成立，则
??d4k－1?
?2k－1?
＝0
2－d＝0
3
d＝2??
，解得?1
k＝??4
3
.
故数列{bn}的通项公式是bn＝2n－1. (2)由已知，当n＝1时，c1＝S1＝c1. 因为c1>0，所以c1＝1.
当n≥2时，c1＋c2＋c3＋…＋cn＝Sn，c1＋c2＋c3＋…＋cn－1＝Sn－1. 两式相减，得cn＝Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝cn·(Sn＋Sn－1). 因为cn>0，所以cn＝Sn＋Sn－1＝2Sn－cn. 显然c1＝1适合上式，
所以当n≥2时，cn－1＝2Sn－1－cn－1.
于是cn－cn－1＝2(Sn－Sn－1)－cn＋cn－1＝2cn－cn＋cn－1＝cn＋cn－1.
因为cn＋cn－1>0，则cn－cn－1＝1，所以数列{cn}是首项为1，公差为1的等差数列，所以cn＝n，Sn＝
所以
2
2
223
2
2
3
3
3
3
2
3
3
3
2
2
2
nn＋1
2
.
Snnn＋1n＋1
＝＝不为常数，故数列{cn}不是“幸福数列”. S2n2n2n＋14n＋2
课时作业47 高考解答题鉴赏——立体几何
1.(2017·南宁模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点.
(1)求证：AD⊥平面PNB；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积. 解：(1)证明：∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD. ∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°， ∴BN⊥AD.
∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB. (2)∵PA＝PD＝AD＝2. ∴PN＝NB＝3.
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD.∴PN⊥平面ABCD， ∴PN⊥NB，
13
∴S△PNB＝×3×3＝. 22∵AD⊥平面PNB，AD∥BC， ∴BC⊥平面PNB. ∵PM＝2MC，
22132
∴VP－NBM＝VM－PNB＝VC－PNB＝×××2＝. 33323
2.(2017·山西四校联考)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平
面垂直于圆O所在的平面，AB＝4，BE＝1.
(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；
(2)当三棱锥C－ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离. 解：(1)证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC. 又四边形DCBE为矩形， ∴CD⊥DE，BC∥DE， ∴DE⊥AC.
∵CD∩AC＝C，∴DE⊥平面ACD. 又DE?平面ADE， ∴平面ADE⊥平面ACD.
111112
(2)由(1)知VC－ADE＝VE－ACD＝×S△ACD×DE＝××AC×CD×DE＝×AC×BC≤×(AC＋
332612
BC2)＝×AB2＝.
当且仅当AC＝BC＝22时等号成立.
4
∴当AC＝BC＝22时，三棱锥C－ADE的体积最大，为.此时，AD＝12＋22
3
2
11243
＝3，
S△ADE＝×AD×DE＝32，设点C到平面ADE的距离为h，则VC－ADE＝×S△ADE×h＝，h＝1
2134322
. 3
3.(2017·长春模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点.
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