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高考数学(文)大一轮复习检测八大专题合集(含答案)

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1.已知数列{an}满足an+1=2an+n+1(n∈N). (1)若{an}是等差数列,求其首项a1和公差d; (2)证明{an}不可能是等比数列;

(3)若a1=-1,是否存在实数k和b使得数列{an+kn+b}是等比数列?若存在,求出数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.

解:(1)由题意知,a2=2a1+2,a3=2a2+3=4a1+7.

因为{an}是等差数列,所以2a2=a1+a3,所以a1=-3,a2=-4,所以公差d=-1. (2)证明:假设{an}是等比数列,则a2=a1a3,即(2a1+2)=a1(4a1+7), 解得a1=-4,从而a2=-6,a3=-9.

又a4=2a3+4=-14,所以a2,a3,a4不成等比数列,这与假设矛盾. 故{an}不可能是等比数列.

(3)假设存在满足条件的k,b,则对任意n∈N有2an+n+1+kn+1+b=

an+kn+b2an+k+1n+k+b+1

恒为常数,则

an+kn+b??k+1=2k???k+b+1=2b*

2

2

*

an+1+kn+1+b=

an+kn+b

??k=1,,解得?

??b=2.

所以数列{an+n+2}是首项为a1+1+2=-1+1+2=2,公比为2的等比数列, 从而an+n+2=2,故an=2-n-2. 2.设数列{an}的前n项和为Sn,如果nnSn为常数,则称数列{an}为“幸福数列”. S2n(1)等差数列{bn}的首项为1,公差不为零,若{bn}为“幸福数列”,求{bn}的通项公式; (2)数列{cn}的各项都是正数,其前n项和为Sn,若c1+c2+c3+…+cn=Sn对任意的n∈N都成立,试推断数列{cn}是否为“幸福数列”?并说明理由.

解:(1)设等差数列{bn}的公差为d(d≠0),前n项和为Tn,则

*

3

3

3

3

2

Tn=k,因为b1=1. T2n11

则n+n(n-1)d=k[2n+·2n(2n-1)d],即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d.

22整理得,(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0. 因为对任意正整数n上式恒成立,则

??d4k-1?

?2k-1?

=0

2-d=0

3

d=2??

,解得?1

k=??4

3

.

故数列{bn}的通项公式是bn=2n-1. (2)由已知,当n=1时,c1=S1=c1. 因为c1>0,所以c1=1.

当n≥2时,c1+c2+c3+…+cn=Sn,c1+c2+c3+…+cn-1=Sn-1. 两式相减,得cn=Sn-Sn-1=(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=cn·(Sn+Sn-1). 因为cn>0,所以cn=Sn+Sn-1=2Sn-cn. 显然c1=1适合上式,

所以当n≥2时,cn-1=2Sn-1-cn-1.

于是cn-cn-1=2(Sn-Sn-1)-cn+cn-1=2cn-cn+cn-1=cn+cn-1.

因为cn+cn-1>0,则cn-cn-1=1,所以数列{cn}是首项为1,公差为1的等差数列,所以cn=n,Sn=

所以

2

2

223

2

2

3

3

3

3

2

3

3

3

2

2

2

nn+1

2

.

Snnn+1n+1

==不为常数,故数列{cn}不是“幸福数列”. S2n2n2n+14n+2

课时作业47 高考解答题鉴赏——立体几何

1.(2017·南宁模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,N为AD的中点.

(1)求证:AD⊥平面PNB;

(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积. 解:(1)证明:∵PA=PD,N为AD的中点,∴PN⊥AD. ∵底面ABCD为菱形,∠BAD=60°, ∴BN⊥AD.

∵PN∩BN=N,∴AD⊥平面PNB. (2)∵PA=PD=AD=2. ∴PN=NB=3.

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD.∴PN⊥平面ABCD, ∴PN⊥NB,

13

∴S△PNB=×3×3=. 22∵AD⊥平面PNB,AD∥BC, ∴BC⊥平面PNB. ∵PM=2MC,

22132

∴VP-NBM=VM-PNB=VC-PNB=×××2=. 33323

2.(2017·山西四校联考)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,矩形DCBE所在的平

面垂直于圆O所在的平面,AB=4,BE=1.

(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;

(2)当三棱锥C-ADE的体积最大时,求点C到平面ADE的距离. 解:(1)证明:∵AB是直径,∴BC⊥AC. 又四边形DCBE为矩形, ∴CD⊥DE,BC∥DE, ∴DE⊥AC.

∵CD∩AC=C,∴DE⊥平面ACD. 又DE?平面ADE, ∴平面ADE⊥平面ACD.

111112

(2)由(1)知VC-ADE=VE-ACD=×S△ACD×DE=××AC×CD×DE=×AC×BC≤×(AC+

332612

BC2)=×AB2=.

当且仅当AC=BC=22时等号成立.

4

∴当AC=BC=22时,三棱锥C-ADE的体积最大,为.此时,AD=12+22

3

2

11243

=3,

S△ADE=×AD×DE=32,设点C到平面ADE的距离为h,则VC-ADE=×S△ADE×h=,h=1

2134322

. 3

3.(2017·长春模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD的中点.

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