1.已知数列{an}满足an+1=2an+n+1(n∈N). (1)若{an}是等差数列,求其首项a1和公差d; (2)证明{an}不可能是等比数列;
(3)若a1=-1,是否存在实数k和b使得数列{an+kn+b}是等比数列?若存在,求出数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意知,a2=2a1+2,a3=2a2+3=4a1+7.
因为{an}是等差数列,所以2a2=a1+a3,所以a1=-3,a2=-4,所以公差d=-1. (2)证明:假设{an}是等比数列,则a2=a1a3,即(2a1+2)=a1(4a1+7), 解得a1=-4,从而a2=-6,a3=-9.
又a4=2a3+4=-14,所以a2,a3,a4不成等比数列,这与假设矛盾. 故{an}不可能是等比数列.
(3)假设存在满足条件的k,b,则对任意n∈N有2an+n+1+kn+1+b=
an+kn+b2an+k+1n+k+b+1
恒为常数,则
an+kn+b??k+1=2k???k+b+1=2b*
2
2
*
an+1+kn+1+b=
an+kn+b
??k=1,,解得?
??b=2.
所以数列{an+n+2}是首项为a1+1+2=-1+1+2=2,公比为2的等比数列, 从而an+n+2=2,故an=2-n-2. 2.设数列{an}的前n项和为Sn,如果nnSn为常数,则称数列{an}为“幸福数列”. S2n(1)等差数列{bn}的首项为1,公差不为零,若{bn}为“幸福数列”,求{bn}的通项公式; (2)数列{cn}的各项都是正数,其前n项和为Sn,若c1+c2+c3+…+cn=Sn对任意的n∈N都成立,试推断数列{cn}是否为“幸福数列”?并说明理由.
解:(1)设等差数列{bn}的公差为d(d≠0),前n项和为Tn,则
*
3
3
3
3
2
Tn=k,因为b1=1. T2n11
则n+n(n-1)d=k[2n+·2n(2n-1)d],即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d.
22整理得,(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0. 因为对任意正整数n上式恒成立,则
??d4k-1?
?2k-1?
=0
2-d=0
3
d=2??
,解得?1
k=??4
3
.
故数列{bn}的通项公式是bn=2n-1. (2)由已知,当n=1时,c1=S1=c1. 因为c1>0,所以c1=1.
当n≥2时,c1+c2+c3+…+cn=Sn,c1+c2+c3+…+cn-1=Sn-1. 两式相减,得cn=Sn-Sn-1=(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=cn·(Sn+Sn-1). 因为cn>0,所以cn=Sn+Sn-1=2Sn-cn. 显然c1=1适合上式,
所以当n≥2时,cn-1=2Sn-1-cn-1.
于是cn-cn-1=2(Sn-Sn-1)-cn+cn-1=2cn-cn+cn-1=cn+cn-1.
因为cn+cn-1>0,则cn-cn-1=1,所以数列{cn}是首项为1,公差为1的等差数列,所以cn=n,Sn=
所以
2
2
223
2
2
3
3
3
3
2
3
3
3
2
2
2
nn+1
2
.
Snnn+1n+1
==不为常数,故数列{cn}不是“幸福数列”. S2n2n2n+14n+2
课时作业47 高考解答题鉴赏——立体几何
1.(2017·南宁模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,N为AD的中点.
(1)求证:AD⊥平面PNB;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积. 解:(1)证明:∵PA=PD,N为AD的中点,∴PN⊥AD. ∵底面ABCD为菱形,∠BAD=60°, ∴BN⊥AD.
∵PN∩BN=N,∴AD⊥平面PNB. (2)∵PA=PD=AD=2. ∴PN=NB=3.
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD.∴PN⊥平面ABCD, ∴PN⊥NB,
13
∴S△PNB=×3×3=. 22∵AD⊥平面PNB,AD∥BC, ∴BC⊥平面PNB. ∵PM=2MC,
22132
∴VP-NBM=VM-PNB=VC-PNB=×××2=. 33323
2.(2017·山西四校联考)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,矩形DCBE所在的平
面垂直于圆O所在的平面,AB=4,BE=1.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C-ADE的体积最大时,求点C到平面ADE的距离. 解:(1)证明:∵AB是直径,∴BC⊥AC. 又四边形DCBE为矩形, ∴CD⊥DE,BC∥DE, ∴DE⊥AC.
∵CD∩AC=C,∴DE⊥平面ACD. 又DE?平面ADE, ∴平面ADE⊥平面ACD.
111112
(2)由(1)知VC-ADE=VE-ACD=×S△ACD×DE=××AC×CD×DE=×AC×BC≤×(AC+
332612
BC2)=×AB2=.
当且仅当AC=BC=22时等号成立.
4
∴当AC=BC=22时,三棱锥C-ADE的体积最大,为.此时,AD=12+22
3
2
11243
=3,
S△ADE=×AD×DE=32,设点C到平面ADE的距离为h,则VC-ADE=×S△ADE×h=,h=1
2134322
. 3
3.(2017·长春模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD的中点.
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