解析 方法一：如图所示，
→→→→∵OA·OB＝0，∴OB⊥OA.
→→→→→
不妨设|OC|＝2，过C作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，则四边形ODCE是矩形． →→→→→OC＝OD＋DC＝OD＋OE.
→→→
∵|OC|＝2，∠COD＝30°，∴|DC|＝1，|OD|＝3. 3→→→→→→
又∵|OB|＝3，|OA|＝1，故OD＝3 OA，OE＝OB.
33→3→→
∴OC＝3 OA＋OB，此时m＝3，n＝.
33m3
∴＝＝3. n3
3
→→
方法二：由OA·OB＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面→→
直角坐标系，则可知OA＝(1，0)，OB＝(0，3)．
3n3m→→→→
又由OC＝mOA＋nOB，可知OC＝(m，3n)，故由tan30°＝＝，可知＝3.
m3n
→1→→1→
15．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE＝AC，BF＝BC.
33(1)求E，F的坐标； →→
(2)求证：EF∥AB.
127
答案 (1)E(－，)，F(，0) (2)略
333
→→
解析 (1)设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则依题意，得AC＝(2，2)，BC＝(－→
2，3)，AB＝(4，－1)．
2→1→22→1→
∴AE＝AC＝(，)，BF＝BC＝(－，1)．
33333
22→
∴AE＝(x1，y1)－(－1，0)＝(，)，
332→
BF＝(x2，y2)－(3，－1)＝(－，1)．
32212
∴(x1，y1)＝(，)＋(－1，0)＝(－，)，
333327
(x2，y2)＝(－，1)＋(3，－1)＝(，0)．
33127
∴E的坐标为(－，)，F的坐标为(，0)．
333127
(2)由(1)知(x1，y1)＝(－，)，(x2，y2)＝(，0)．
33382→
∴EF＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(，－)．
3328
又4×(－)－(－1)×＝0，
33→→
∴EF∥AB.
2C
16．已知向量m＝(0，－1)，n＝(cosA，2cos)，其中A、B、C是△ABC的内角，且A、B、
2
C依次成等差数列，求|m＋n|的取值范围． 答案 [25，) 22
π2π2π
解析 2B＝A＋C，B＝，A＋C＝，∴0 2C m＋n＝(cosA，2cos－1)＝(cosA，cosC)， 2 |m＋n|＝cosA＋cosC＝＝＝ 22 1＋cos2A1＋cos2C ＋ 22 14π 1＋[cos2A＋cos（－2A）] 231π 1＋cos（2A＋）， 23 ππ5ππ1 ∵<2A＋<，∴－1≤cos(2A＋)<. 33332∴|m＋n|∈[ 25 ，)． 22 17．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2)． (1)若a∥b，求tanθ的值； (2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值． 1π3π 答案 (1) (2)或 424 1 解析 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝. 4(2)由|a|＝|b|知，sinθ＋(cosθ－2sinθ)＝5，所以 1－2sin2θ＋4sinθ＝5. π2 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋)＝－. 42ππ9ππ5ππ7π 又由0<θ<π知，<2θ＋<，所以2θ＋＝或2θ＋＝. 4444444π3π 因此θ＝或θ＝. 24 1．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，则“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的是( ) A．充要条件 C．充分不必要条件 答案 C 解析 若a＝(4，2)，则|a|＝25，且a∥b都成立； 因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)， 由|a|＝25，得4λ＋λ＝20. ∴λ＝4，∴λ＝±2. ∴a＝(4，2)或a＝(－4，－2)． 因此“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件． 3π→ 2．在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转后 4→ 得向量OQ，则点Q的坐标是( ) A．(－72，－2) C．(－46，－2) 答案 A 34→→ 解析 设OP与x轴正半轴的夹角为θ，则cosθ＝，sinθ＝，则由三角函数定义，可得OQ 553π3π→→ ＝(|OP|cos(θ＋)，|OP|sin(θ＋))． 44 B．(－72，2) D．(－46，2) 2 2 2 2 2 2 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3π3π3π→22∵|OP|cos(θ＋)＝6＋8×(cosθcos－sinθsin) 4443242 ＝10×[×(－)－×]＝－72， 5252 3π3π3π→22|OP|sin(θ＋)＝6＋8×(sinθcos＋cosθsin) 4444232 ＝10×[×(－)＋×]＝－2， 5252→ ∴OQ＝(－72，－2)， 即点Q的坐标为(－72，－2)． →→→ 3．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为 1A. 21C. 4答案 A →→→ 解析 ∵M为边BC上任意一点，∴可设AM＝xAB＋yAC(x＋y＝1)．∵N为AM中点， →1→1→1→→→∴AN＝AM＝xAB＋yAC＝λAB＋μAC. 22211∴λ＋μ＝(x＋y)＝. 22 4．已知a＝(6，1)，b＝(－2，2)，若单位向量c与2a＋3b共线，则向量c的坐标为________． 34 答案 ±(，) 55 解析 2a＋3b＝2(6，1)＋3(－2，2)＝(6，8)， ∵单位向量c与(6，8)共线， （6，8）34 ∴c＝±＝±(，)． 5536＋64 5．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________． 答案 (－1，1)或(－3，1) 解析 设a＝(x，y)，∵b＝(2，－1)，则a＋b＝(x＋2，y－1)，∵a＋b平行于x轴，∴y－1＝0，y＝1，故a＋b＝(x＋2，0)，又∵|a＋b|＝1，∴|x＋2|＝1，∴x＝－1或x＝－3， ∴a＝(－1，1)或a＝(－3，1)． 6．已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________． 答案 1 ( ) 1 B. 3D．1
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