2020版高考数学二轮复习专题限时集训13导数的简单应用文(最新整理)

2020版高考数学二轮复习 专题限时集训13 导数的简单应用 文 专题限时集训(十三） 导数的简单应用

[专题通关练] （建议用时:30分钟）

1．已知函数f(x)的导函数f′（x)满足下列条件： ①f′(x)>0时，x<－1或x>2； ②f′（x)<0时，－1〈x〈2； ③f′(x)＝0时,x＝－1或x＝2. 则函数f（x）的大致图象是（ )

A ［根据条件知,函数f(x）在（－1,2）上是减函数．在(－∞，－1)，（2,＋∞）上是增函数，故选A.］

2．已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝ae＋x相切（其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是（ )

A.错误! C．2

xxB．1 D．e

B ［由题意知y′＝ae＋1＝2，则a〉0，x＝－ln a,代入曲线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2（x＋ln a），即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1?a＝1。］

3．已知函数f(x）＝x＋ax＋bx＋a在x＝1处的极值为10，则数对（a，b）为（ ） A．(－3，3） C．（4，－11)

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B．（－11,4)

D．(－3,3）或(4，－11)

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C [f′（x）＝3x＋2ax＋b，依题意可得错误!即错误!消去b可得a－a－12＝0,解得a＝－3或a＝4，故错误!或错误!当错误!时，f′（x）＝3x－6x＋3＝3(x－1)≥0，这时f(x）无极值，不合题意，舍去，故选C。］

4．已知f（x)＝x＋ax＋3ln x在（1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为（ ) A．（－∞，－2错误!］ C．［－2错误!,＋∞）

B.错误!

D．[－5,＋∞）

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2

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C ［由题意得f′(x）＝2x＋a＋错误!＝错误!≥0在（1,＋∞）上恒成立?g(x)＝2x＋ax＋3≥0在（1，＋∞)上恒成立?Δ＝a－24≤0或错误!?－2错误!≤a≤2错误!或错误!?a≥－2

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2020版高考数学二轮复习 专题限时集训13 导数的简单应用 文 错误!，故选C。]

5．（2019·重庆七校联考）函数f（x）（x〉0）的导函数为f′（x），若xf′(x)＋f(x）＝e,且f(1)＝e,则( )

A．f(x）的最小值为e B．f(x）的最大值为e C．f(x)的最小值为错误! 1D．f（x）的最大值为

eA ［设g(x）＝xf（x)－e，

则g′(x）＝f(x）＋xf′（x）－e＝0， 所以g(x）＝xf(x）－e为常数函数． 因为g（1）＝1×f(1)－e＝0， 所以g(x)＝xf(x)－e＝g（1）＝0， 所以f(x)＝错误!，f′(x）＝错误!， 当0〈x〈1时，f′(x)〈0， 当x>1时,f′(x)>0, 所以f（x)≥f(1）＝e。］

6．（2019·西安八校联考）已知曲线f(x）＝e＋x,则曲线在(0,f（0））处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________．

错误! [由题意，得f′（x）＝e＋2x，所以f′(0）＝1。

xx2

xxxxx又f(0)＝1，所以曲线在（0,f(0)）处的切线方程为y－1＝1×（x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点分别为（－1,0)，(0,1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为错误!×1×1＝错误!.］

7．若函数f(x)＝x－12x在区间（k－1，k＋1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．

(－3，－1)∪（1,3） [f′（x）＝3x－12，由f′(x)〉0，得函数的增区间是（－∞，－2)及（2，＋∞）,由f′(x）〈0，得函数的减区间是（－2,2），由于函数在(k－1，k＋1）上不是单调函数，所以k－1〈－2

8．若函数f(x）＝(x＋ax＋3）e在(0，＋∞)内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是________．

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x2020版高考数学二轮复习 专题限时集训13 导数的简单应用 文 (－∞，－3］ [f′（x)＝(2x＋a)e＋（x＋ax＋3)e＝［x＋（a＋2)x＋a＋3]e， 因函数f(x）＝（x＋ax＋3）e在(0，＋∞）内有且仅有一个极值点，等价于f′（x)＝0在（0，＋∞)上只有一个变号根，即f′（0）〈0，此时a＋3〈0，解得a〈－3。

当a＝－3时，f′（x)＝（x－x）e， 由f′(x)＝0得x＝0或x＝1, 即x＝1是函数f（x)的一个极值点， 满足条件，综上a≤－3。］

[能力提升练] （建议用时：15分钟）

9．已知函数f(x）＝ln x－ax＋x，a∈R。

(1)当a＝0时,求曲线y＝f(x）在点（e，f（e)）处的切线方程； (2)讨论f（x）的单调性．

1

［解] (1）当a＝0时，f(x）＝ln x＋x,f(e）＝e＋1,f′（x)＝＋1，f′（e)＝1＋错误!，

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x2x2xxxx∴曲线y＝f(x)在点(e,f(e)）处的切线方程为y－（e＋1)＝错误!(x－e)，

即y＝错误!x.

（2)f′（x)＝错误!－2ax＋1＝错误!，x〉0, ①当a≤0时，显然f′(x)>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a〉0时，令f′（x)＝错误!＝0， 则－2ax＋x＋1＝0,易知其判别式为正， 设方程的两根分别为x1，x2(x1

令f′（x)〉0,得x∈(0,x2),令f′(x）〈0得x∈(x2，＋∞),其中x2＝错误!，∴函数f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．

10．设函数f（x)＝ln x－2mx－n(m，n∈R)． (1）讨论f(x）的单调性;

（2）若f（x）有最大值－ln 2，求m＋n的最小值． ［解] (1）函数f(x)的定义域为（0，＋∞)，

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