解析：选D.因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 015在上行，则2 015＝3＋(n－1)·4?n＝504?N*，故2 015在上行，又因为在上行奇数的箭头为→an↓，故选D.
1119
6．在△ABC中，有＋＋≥
ABCπ
111116
在四边形ABCD中，＋＋＋≥，
ABCD2π
1111125
在五边形ABCDE中，有＋＋＋＋≥，
ABCDE3π
则在n边形A1A2A3?An中有________．
1111n2
答案：＋＋＋?＋≥
A1A2A3An（n－2）π
7．若Sn是等差数列{an}的前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an；类似地，若Tn是等比数列{bn}的前n项积，则有T2n－1＝________．
n－1
解析：T2n－1＝b1·b2·b3·?·b2n－1＝b2. n
2n－1
答案：bn
S△PA′B′PA′PB′VP-A′B′C′
8．根据图(1)的面积关系：＝·，可猜想图(2)有体积关系：＝
PAPBS△PABVP-ABC
________．
解析：题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P-ABC，P-A′B′C′；
与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P-A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.与△PAB
的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的VP-A′B′C′PA′PB′PC′
面积关系，得到题图(2)的体积关系为＝··.
PAPBPCVP-ABC
PA′·PB′·PC′答案：
PA·PB·PC
9．已知a1＝3，an＋1＝a2n(n＝1，2，?)，试通过归纳推理得出数列{an}的通项公式，并给出证明．
解：由a1＝3，an＋1＝a2n，
222
得a2＝3，a3＝(3)＝322，a4＝(322)2＝323，
－
a5＝(323)2＝324，?，an＝32n1(n＝1，2，?)． 证明如下：
由条件知an>0，于是lg an＋1＝lg a2n＝2lg an(n＝1，2，?)．
－
又因为lg a1≠0，故{lg an}是以2为公比的等比数列，进而得lg an＝2n1lg 3，即an＝32n
－1
(n＝1，2，?)．
x2y2
10．已知椭圆C：2＋2＝1具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点
ab
P是椭圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与
x2y2
kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线2－2＝1写出具有类似特性的性质，并加以
ab
证明．
x2y2
解：类似的性质：若M，N是双曲线2－2＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线
ab
上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：
m2n2
设M(m，n)，则N(－m，－n)，其中2－2＝1，
ab
y－ny＋n
设P(x，y)，由kPM＝，kPN＝，
x－mx＋m
y－ny＋ny2－n2
得kPM·kPN＝·＝，
x－mx＋mx2－m222
b22b222b22
将y＝2x－b，n＝2m－b代入得kPM·kPN＝2.
aaa
[B.能力提升] 1*
1．若数列{an}的通项公式an＝2(n?N)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)?(1－an)，则（n＋1）
通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，可推测出f(n)为( )
n＋2n＋2A. B. n＋32n＋2n＋2nC. D. 2n＋12n＋1
1
解析：选B.∵an＝，
（n＋1）2111∴a1＝，a2＝，a3＝.
4916
3
∴f(1)＝1－a1＝，
41141－??1－?＝， f(2)＝??4??9?638155f(3)＝××＝.
49168
n＋2
∴推测f(n)＝.
2n＋2
2．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7??依此类推，则标签为2 0152的格点的坐标为( )
A．(1 006，1 005) B．(1 007，1 006) C．(1 008，1 007) D．(1 009，1 008)
2
解析：选C.点(1，0)处标1＝1，点(2，1)处标9＝32，点(3，2)处标25＝52，点(4，3)处标49＝72??依此类推得点(1 008，1 007)处标2 0152.故选C.
1＋an
3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n?N*)，则a3的值为________，a1·a2·a3·?·a2
1－an
015的值为________．
11
解析：法一：分别求出a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，可以发现a5＝a1，{an}是以4
23
为周期的数列，且a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·?·a2 015＝(a1·a2·a3·a4)·(a5·a6·a7·a8)·?·(a2
a2 013·a2 014·a2 015＝a1·a2·a3＝3. 009·a2 010·a2 011·a2 012)·
1＋anπ
法二：由an＋1＝，联想到两角和的正切公式，设a1＝2＝tan θ，则有a2＝tan?＋θ?，
?4?1－an
π3π
a3＝tan?＋θ?，a4＝tan?＋θ?，a5＝tan(π＋θ)＝a1，?，则a1·a2·a3·a4＝1，故
?2??4?
a1·a2·a3·?·a2 015＝a2 013·a2 014·a2 015＝a1·a2·a3＝3.
1
答案：－ 3
2
4．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2 401，?，则72 015的末两位数字为________．
1
解析：∵7＝07 72＝49 73＝343 74＝2 401 75＝16 807 76＝117 649 ??
观察可见7n(n?N*)的末两位数字呈周期出现，且周期为4， 又∵2 015＝503×4＋3，
∴72 015与73末两位数字相同为43. 答案：43 5.如图，已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，OA′OB′OC′则＋＋＝1. AA′BB′CC′
这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA′OB′OC′S△OBCS△OCAS△OABS△ABC
＋＋＝＋＋＝＝1. AA′BB′CC′S△ABCS△ABCS△ABCS△ABC请运用类比推理，对于空间中的四面体V-BCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．
解：如图，在四面体V-BCD中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长分别交
四个面于点E，F，G，H.
OEOFOGOH
则＋＋＋＝1. VEDFBGCH证明：在四面体O-BCD与V-BCD中，
1
S△·h1
V四面体O-OEh13BCDBCD＝＝＝， VEh1V四面体V-BCD
S·h3△BCD
OFV四面体O-VBC
同理有：＝；
DFV四面体D-VBC
OGV四面体O-VCD
＝； BGV四面体B-VCD
OHV四面体O-VBD
＝. CHV四面体C-VBD
OEOFOGOH∴＋＋＋ VEDFBGCHV四面体O-BCD＋V四面体O-VBC＋V四面体O-VCD＋V四面体O-VBD
＝ V四面体V-BCD
V四面体V-BCD
＝＝1. V四面体V-BCD
6．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图①②③④所示的是该少数民族刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求f(5)的值；
(2)归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
1111
(3)求＋＋＋?＋的值．
f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－1解：(1)f(5)＝41.
(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， ??
由以上规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n. 所以f(n＋1)＝f(n)＋4n， f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋?＋4 ＝2n2－2n＋1.
11111
(3)当n≥2时，＝＝?n－1－n?，
?f（n）－12n（n－1）2?
1111
所以＋＋＋?＋ f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－1
1111?1?11?11
－? －＋－＋?＋?＝1＋?2?12?2?23?2?n－1n?
11
1－? ＝1＋?2?n?31＝－. 22n
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