01.量子力学基础知识
【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol为单位的能量。
-1
2.998?108m?s?1????4.469?1014s?1?670.8m解： 114?1%????1.491?10cm?670.8?10?7cm E?h?NA?6.626?10?34J?s?4.469?1014s?1c ?6.6023?1023mol-1 ?178.4kJ?mol-1
【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10s，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？
-14-1
1hv?hv0?mv22解：
????2h?v?v0???m??12???2.998?10mgs?3414?1??5.464?10s???2?6.626?10Jgs??9300?10m???????9.109?10?31kg????
8?112
?2?6.626?10Jgs?4.529?10s????9.109?10?31kg???8.12?105mgs?1
?3414?112【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：
（a） 质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s的尘埃； （b） 动能为0.1eV的中子； （c） 动能为300eV的自由电子。
解：根据关系式：
-1
h6.626?10?34J?s????10?6.626?10?22m?1mv10kg?0.01m?s(1) hh (2)???p2mT?6.626?10?34J?s2?1.675?10?27kg?0.1eV?1.602?10?19J??eV??1 ?9.403?10-11mhh(3) ???p2meV
?6.626?10?34J?s2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?300V
【1.6】对一个运动速度?=c（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：
?7.08?10?11m结果得出
m??1m?2的结论。上述推导错在何处？请说明理由。
E?hvp?h/?
h③h?④E⑤1mv?p????mv?vv2
①②解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：
式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：
p?m?
知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。 微粒波的波长λ服从下式：
??u/v
式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了??u/v，显然是错的。
在④中，E?hv无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能，则⑤也不正确。
【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s），尘埃（质量10-9kg，速度10m·s）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·s-1）、原子中电子（速度1000 m·s-1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？
解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：
-1
-1
h6.26?10?34J?s?x???6.63?10?34m?1m??v0.01kg?1000?10%m?s子弹：
h6.626?10?34J?s?x???9?6.63?10?25m?1m??v10kg?10?10%m?s尘埃： h6.626?10?34J?s?20?x???13?6.63?10m?1m??v10kg?1?10%m?s花粉：
h6.626?10?34J?s?6?x???7.27?10m?31?1m??v9.109?10kg?1000?10%m?s电子：
【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度??为?的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：
Vx??hh?mgV?mg2eV/m?10%6.626?10?34Jgs?10
2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?103V?3.88?10?10m这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
?6【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10m）观察不到电子衍射（用100000V电
压加速电子）。
解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：
Vx?hh1??1.226?10?9gmVpxh/?V1?1.226?10?9gm10000?1.226?10?11m
这不确定度约为光学光栅周期的10
－5
倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光
学光栅周期的10
－5
倍，用光学光栅观察不到电子衍射。
－
解法二：若电子位置的不确定度为106m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：
在104V的加速电压下，电子的动量为：
h6.626?10?34Jgs?px???x10?6m?6.626?10?28Jgsgm?1
px?m?x?2meV?2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?104V?5.402?10?23Jgsgm?1由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：
??arcsin??arcsin?pxpx?6.626?10?28Jgsgm?1?Barcsin??23?1??5.402?10Jgsgm?Barcsin10?5?0o衍射。
这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子
?d222??2?4ax??ax2dx?的本征函数，求其本征值。 【1.11】??xe是算符?解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：
?d2?d222?22??ax2?4ax???4axxe?2??2?dxdx???? 222d?2xe?ax?4a2x2xe?axdx
22d?ax2?e?2ax2e?ax?4a2x3e?axdx??????2axe?ax?4axe?ax?4a2x3e?ax?4a2x3e?ax
2??6axe?ax
因此，本征值为?6a。
2222??6a?d22【1.12】下列函数中，哪几个是算符dx的本征函数？若是，求出本征值。
x3e,sinx,2cosx,x,sinx?cosx
d2d2x? ex22解：dx，e是dx的本征函数，本征值为1。 d2d2sinx?1?sinx,sinx是dx2的本征函数，本征值为1。 dx2d2(2cosx)?2cosx2dx
i
dim?【1.13】e和cosm?对算符d?是否为本征函数？若是，求出本征值。
dim?ie?ieim?im?解：d?，im??me dim?所以，e是算符d?的本征函数，本征值为?m。
dicosm??i??sinm??gm??imsinm??ccosm?d?而
id所以cosm?不是算符d?的本征函数。
i【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
2n?xsinll n?1,2,3???
0?x?l?，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均
式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标??n?x??值。
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：
h2d22nπxh2d2nπnπx?Hψn(x)?-2(sin)?-(cos)228πmdxll8πmdxlll
??2n?n?n?x??(?sin)8?2mllll h2h2n2?22n?xn2h2??2?2?sin??n(x)8?mlll8ml2 n2h2E?8ml2 即：
??（2）由于x?n(x)?c?n(x),x无本征值，只能求粒子坐标的平均值：
*?2n?x?l?2n?x??x???dxx????x??x?n?x?dx???sinsin??00?0l?l??l?l?
x??2l2l?1?cos2n?l?2?n?x???xsin?dx?dx??0x??0ll2???l???
1?x2ll?2n?x?lll2n?x???0?xsin?sindx???0?0l?22n??l?2n?l? l?2
?x?n?x??c?n?x?,p?xpl*nl??（3）由于
10无本征值。按下式计算px的平均值:
*?x?n?x?dxpx???n?x?p
??
2n?x?ihd?2n?xsin?sindx??0ll?2?dx?ll nihln?xn?x??2?sincosdx?0l0ll
1【1.16】求一维势箱中粒子在?1和?2状态时，在箱中0.49l~0.51l范围内出现的概率，并与图1.3.2（b）相比较，讨论所得结果是否合理。
解：（a）
?1?x??2?x2?xsin?12?x??sin2ll ll
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